Teorema del restant

En àlgebra la teorema del restant afirma que el restant $r$, que resulta en dividir un polinomi $p(x)$ entre $x-a$, és igual a $p(a).$

Açò es deduïx directament d'una de les propietats de la divisió, la que diu que

$p(x)=q(x)c(x)+r(x),$

a on $p(x)$ és el divident, $q(x)$ el divisor, $c(x)$ el cocient i $r(x)$ el restant i verificant-se ademés, que el grau de $r(x)$ és menor que el grau de $q(x)$.

En efecte, si prenem el divisor $q(x)=x-a$ llavors $r(x)$ té grau menor que 1 (el grau del restant és 0); és dir, és una constant que podem cridar r, i la fòrmula anterior es convertix en:

$p(x)=(x-a)c(x)+r.$

Prenent el valor $x=a$ s'obté que:

$\frac{}{}p(a)=r$

El teorema del restant nos permet calcular $p(a)$ calculant el restant o viceversa. També pot deduir-se d'ell, fàcilment, el teorema del factor, de gran utilitat per a descompondre un polinomi en factors.

Eixemple

Siga $p(x)=x^3-3x^2-7$.

En dividir $p(x)$ per $x-2$ obtenim el cocient

$c(x)=x^2-x-2$ i el restant $r=-11$.

Podem assegurar llavors, que $p(2)=-11$,

Teorema del factor

Una conseqüència directa és que $(x-a)$ és un factor del polinomi $f(x)$ si i solament si $f(a)=0$.