Teoria de camp mig

En física, la teoria de camp mig, o simplement camp mig, permet l'estudi del comportament de models complexos per mig de l'us d'aproximacions auto-consistents que els simplifiquen. Estos models solen estar formats per multitut de components individuals que interactuen entre elles. L'aproximació de camp mig consistix en considerar els efectes que produïxen tots els components del sistema sobre un d'ells com un únic efecte promediado, el camp mig, reduint un problema de molts cossos a un atre problema d'un solament. Este camp mig s'obté de forma auto-consistent en resoldre el problema d'un cos i promediar sobre el sistema.

Les idees darrere d'este tipo d'aproximacions varen aparéixer per primera volta en treballs de Pierre Curie i Pierre Weiss per a descriure transicions de fase. Este tipo d'aproximacions s'han usat en multitut de problemes més allà de la física estadística, com a models epidémicos, teoria de coes, teoria de jocs, neurociencia o inteligència artificial.

Motivació

Els sistemes de molts cossos en interaccions són en general molt difícils de resoldre i es coneixen poques solucions exactes, en notables excepcions com el model de Ising en 1 i 2 dimensions. En camp mig este sistema se substituïx per un atre d'un sol cos per mig de l'elecció d'un camp auxiliar, el camp mig, que permeta suplir la falta del restant del sistema. En el cas de sistemes magnètics este camp sol identificar-se en la magnetisació del sistema. La substitució per este nou problema més simple es fa en l'objectiu de resoldre-ho de forma exacta. Aixina, el camp mig pot ser calculat a la seua volta des del problema d'un sol cos, quedant típicament en forma d'equació que s'ha de resoldre de forma auto-consistent.

En general, la dimensionalidad del sistema juga un paper important a l'hora de que l'aproximació de camp mig funcione. L'aproximació es basa fonamentalment en considerar que l'efecte que produïxen els elements del sistema és exactament el seu promig, per lo que si les fluctuacions sobre el promig són importants l'aproximació tendix a produir pijor resultat. És dir, quan el número d'elements que interaccionen és gran, $N$, per la llei dels grans números les fluctuacions, que van com $\sqrt{N}$, no són importants. En canvi, quan és chicotet les fluctuacions si són importants i duen a predir resultats erròneus, tant qualitativa com cuantitativament. Per eixemple en el model de Ising en 2D, la magnetisació a temperatures menors que la temperatura crítica del sistema ($T_c$), creix proporcional a $(T_c-T{)}^{1/8}$, mentres que camp mig prediu que esta creix com $(T_c-T{)}^{1/2}$. En canvi a dimensions majors o iguals que 4, camp mig prediu correctament la forma de la magnetisació. El criteri de Ginzburg és l'expressió formal de quantes fluctuacions fan que l'aproximació de camp mig falle, permetent predir una dimensió crítica per damunt de la qual camp mig funciona.