Trayectòria balística

La trayectòria balística és la trayectòria de vol que seguix un proyectil somés únicament a la seua pròpia inèrcia i a les forces inherents al mig en el que es desplaça, principalment la força gravitatoria.

La ciència que estudia els fenomens balístics en general es denomina balística. La balistica exterior estudia la trayectòria balística baix diverses condicions.

Quan sobre el proyectil tan solament actua la gravetat, la trayectòria balística és una paràbola. No obstant, la presència d'atres forces, tals com la resistència aerodinàmica (atmòsfera), la força de sustentació, la força de Coriolis (efecte de la rotació terrestre), etc. fa que la trayectòria real siga alguna cosa diferent d'una paràbola.

Alguns proyectils autopropulsados es denominen balístics fent recalcament que no existix propulsió res més que en la fase inicial de llançament ('fase calenta'). Un eixemple d'això són els missils balístics que en la seua fase de caiguda carixen de autopropulsión.

Equacions de la trayectòria balística

Archiu:Casting obliquely.gif

Objecte disparat en un àngul inicial

θ_{0}

des d'un punt

y (x_{0})

que seguix una trayectòria parabòlica.

Utilisarem les següents hipòtesis simplificadoras:

L'alcanç del proyectil és suficientment chicotet com per a poder despreciar la curvatura de la superfície terrestre (l'acceleració gravitatoria $𝐠$ és normal a dita superfície);
L'altura que alcança el proyectil és suficientment menuda com per a poder despreciar la variació del camp gravitatorio terrestre en l'altura;
La velocitat del proyectil és suficientment menuda com per a poder despreciar la resistència que presenta l'aire al seu moviment.
No tindrem en conte l'efecte de rotació de la Terra que, com vorem més alvance, tendix a desviar el proyectil cap a la dreta de la seua trayectòria quan el moviment té lloc en l'hemisferi Nort.

Supongam que es dispara el proyectil en una velocitat inicial $𝐯_{0}$ que forma un àngul $𝜽_{0}$ en l'horisontal. Triarem el pla xy coincidint en el pla de la trayectòria (definit per $𝐯_{0}$ i $𝐠$ ), en l'eix i vertical i dirigit cap a dalt i l'orige O coincidint en la posició de dispar del proyectil. Tenim:

La component horisontal de la velocitat permaneix invariable, pero la component vertical canvia en el transcurs del temps. En la figura 1 s'observa que el vector velocitat inicial $v_{0}$ forma un àngul inicial $θ_{0}$ respecte a l'eix x; l'àngul $θ$ que forma la velocitat en l'horisontal, que coincidix en la pendent de la trayectòria, canvia conforme alvança el proyectil.

Integrant les equacions (3) i tenint en conte les condicions inicials (2)

Per mig de nova integració de (4), en les condicions inicials (1), obtenim el vector de posició del proyectil:

Estes dos equacions constituïxen les equacions paramètriques de la trayectòria. Si eliminem el temps entre les expressions de les components x i i del vector de posició en les equacions que donen les posicions $x$ i $y$ , obtindrem l'equació algebraica de la trayectòria, açò és:

que representa una paràbola en el pla x,i.

En la figura 1 es mostra esta representació, pero en ella s'ha considerat $y_{0} = 0$ (no aixina en l'animació respectiva). En eixa figura també s'observa que l'altura màxima en la trayectòria parabòlica es produirà en H, quan la component vertical de la velocitat $v_{y}$ siga nula (màxim de la paràbola); i que l'alcanç horisontal $x$ ocorrerà quan el cos retorne al sol, en $y = 0$ (a on la paràbola curta a l'eix $x$ ).

A partir de les equacions anteriors podem obtindre molta informació sobre el moviment del proyectil.

Per eixemple, suponent que $y_{0} = 0$ , el temps $t_{h}$ necessari per a que el proyectil alcance l'altura màxima $h$ ho determinem anulant la component vertical de la velocitat en [4], ya que en eixe punt la velocitat del proyectil és horisontal. L'altura màxima $h$ alcançada pel proyectil i el recorregut horisontal $x_{h}$ realisat fins a eixe instant els calculem substituint el temps $t_{h}$ en les components del vector de posició $𝐫$ en [5], obtenint-se:

El temps $t_{A}$ que ampra el proyectil en retornar al pla horisontal de llançament rep el nom de temps de vol i ho podem calcular fent $y = 0$ en [5]. El alcanç $x_{A}$ és la distància horisontal coberta durant eixe temps i es determina substituint el valor del temps de vol en $x (t)$ en [5]:

Observe's que $t_{A} = 2 t_{h}$ , que $x_{A} = 2 x_{h}$ i que, per a un valor fix de $v_{0}$ , l'alcanç serà màxim per a un àngul de dispar de 45°. Per una atra part, com $\sin 2 (9 0^{o} - θ_{0}) = \sin 2 θ_{0}$ , s'obté el mateix alcanç per a un àngul de dispar donat i per al seu complementari.

Moviment balístic en fricció

Archiu:Quasi-parab-freefall.png

Rozamiento -k_wv. Trayectòries casi parabòliques en rozamiento proporcional a la velocitat, per a cinc valors diferents de la velocitat horisontal β = 1,5, β = 2,5, β = 3,5 i β = 4,5, des d'una altura h = 7δ.

La presència en el mig d'un decorregut, com l'aire, eixercix una força de rozamiento que depén del mòdul de la velocitat i és de sentit opost a esta. En eixes condicions, el moviment d'una partícula en un camp gravitatorio uniforme no seguix estrictament una paràbola i és només casi-parabòlic. Sobre la forma del rozamiento es distinguixen dos casos.

Moviment a baixa velocitat

Per a un decorregut en repòs i un cos movent-se a molt baixa velocitat, el fluix al voltant del cos pot considerar-se laminar i, en eixe cas, el rozamiento és proporcional a la velocitat. L'equació de la trayectòria resulta ser:

$y (x) = h_{0} - δ [\frac{x}{β δ} - \ln (1 - \frac{x}{β δ})]$

a on:

h_{0}

és l'altura inicial des de la que cau el cos.

δ = g m^{2} / k_{w}^{2}, β = v_{x} k_{w} / m g

són dos paràmetros que definixen el problema en térmens de les magnituts del problema.

m, g, k_{w}, v_{x}

són la massa del cos que cau, l'acceleració de la gravetat, el coeficient de rozamiento i la velocitat horisontal inicial.

Per a altures suficientment grans el rozamiento de l'aire fa que el cos caiga segons una trayectòria l'últim tram de la qual és pràcticament vertical, en ser frenada casi completament la velocitat horisontal inicial.

Archiu:Quasi-parab-freefall2.png

Rozamiento -C_wv². Trayectòries casi parabòliques en rozamiento proporcional a la velocitat al quadrat, per a cinc valors diferents de la velocitat horisontal β = 1,5, β = 2,5, β = 3,5 i β = 1,5, des d'una altura h = 7δ.

Moviment a velocitat moderada o gran

A velocitats moderadament grans o grans, o quan el decorregut està en moviment, el fluix al voltant del cos és turbulento i es produïxen moles i pressions que generen una força de frenat proporcional al quadrat de la velocitat.

En lloc de les equacions anteriors, més difícils d'integrar, es pot usar en forma aproximada les següents equacions:

Per a eixes equacions la trayectòria ve donada per:

$y (x) = h_{0} - δ \ln [\cosh (\frac{e^{x / δ} - 1}{β})]$

A on:

h_{0}

és l'altura inicial des de la que cau el cos.

δ = 1 / C_{w}, β = \sqrt{g / (C_{w} v_{x}^{2})}

són dos paràmetros que definixen el problema en térmens de les magntiudes del problema.

g, C_{w}, v_{x}

són l'acceleració de la gravetat, el coeficient de rozamiento i la velocitat horisontal inicial.

Vore també

Referències

Bibliografia

Marion, Jerry B. (1996). Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes (en espanyol), Barcelona: Ed. Reverté.

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums) (en espanyol), Monytex.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª (en espanyol), CECSA, Mèxic.
"Balística Exterior", Francisco Pérez, Ministeri de Defensa, 1992.

Este artícul conté una traducció derivada de «Trayectoria balística» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.