Continuïtat uniforme

Gràfica d'una funció contínua uniforme

A mida que el centre de la finestra blava, d'alt $2\epsilon >0$ i ample $2\delta >0$, es mou a lo llarc de la gràfica de $f(x)=\frac{1}{x}$ cap a $x=0$ aplega un moment en el que la gràfica de $f$ talla la part superior i/o la part inferior de la finestra. Açò significa que $f$ pren un valor en un error major que $\epsilon$ respecte de $f(x)$ encara que es restringixca a punts a una distància menor que $\delta$ del punt $x$. Si per a qualsevol altura de la finestra existira un ample de manera que el gràfic mai penetrara la seua part superior i/o inferior, significaria que la funció és uniformemente contínua. Per això la funció $f$ no ho és. En canvi, podem observar que per a la funció roja $g=\sqrt{x}$ la finestra de la figura servix per a lo que volíem. Per a qualsevol atra altura de la finestra podem fer alguna cosa semblat. Açò significa que $g$ sí és uniformemente contínua.

En anàlisis matemàtic una funció $f$ es diu que és uniformemente contínua si menuts canvis en el valor de $x$ produïxen menuts canvis en el valor de la funció (continuïtat) i el tamany dels canvis de $f(x)$ depén només del tamany dels canvis en x pero no del valor de x a on es medixquen eixos canvis (uniforme). Concretament, significa que per a qualsevol error $\epsilon >0$ desijat per als valors que pren la funció, per chicotet que siga, existix una distància $\delta >0$ de manera que nos centrem en el punt $x$ del domini a on nos centrem, si només considerem punts separats de $x$ tant com $\delta$, les seues imàgens tindran un error respecte de $f(x)$ menor que $\epsilon$.

La diferència en la continuïtat (no uniforme) és que en esta última la distància $\delta$ a cada punt necessària per a assegurar que les imàgens tinguen un error menor que $\epsilon$ pot dependre del punt del domini considerat, mentres que per a la continuïtat uniforme deu existir un $\delta$ que valga simultàneament per a tots els punts del domini.

Per eixemple, la funció $f(x)=1/x$ definida per a $x>0$ de l'image d'avall a la dreta no és uniformemente contínua (encara que sí que és contínua). Per a vore açò, note's que per a conseguir un mateix error en les imàgens de la funció, per a punts propencs a 0 devem restringir els punts considerats a distàncies infinitament menudes; no existix puix una mateixa distància $\delta$ que servixca per a tots: per a qualsevol suposta distància $\delta$ que servira, podríem trobar punts (propencs a 0) para els quals els valors de la funció en un entorn de diàmetro $\delta$ al voltant del punt variaren tant com vullgam.

Definició

Donats dos espais mètrics $(X,d_X)$ i $(Y,d_Y)$, i $M\subseteq X$ llavors una funció $f:M\to Y$ es diu uniformemente contínua en M si per a qualsevol número real $\epsilon >0$ existix $\delta >0$ tal que $d_X(x_1,x_2)<\delta$, implica que $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$ para tot $x_1,x_2\in M$, és dir, usant quantificadors, si

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{x}_1\in M\mathrm{\forall }{x}_2\in M:d_X(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$.

En particular, una funció $f:ℝ\to ℝ$ és uniformemente contínua en un interval$A$ si para tot $\epsilon >0$ existix algun $\delta >0$ tal que para tot $x,y\in A$ es complix que si $|x-y|<\delta$, llavors $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

A diferència de la continuïtat, a on el valor de $\delta$ pot dependre del punt x, en les funcions uniformemente contínues no depén del punt considerat. Concretament, açò es veu en l'orde dels quantificadors de les definicions de continuïtat uniforme i de continuïtat. Esta última es definix com seguix:

$\mathrm{\forall }{x}_1\in M\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{x}_2\in M:d_X(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$.

És dir, per a la continuïtat un primer pren un punt arbitrari $x_1$ i després deu trobar un $\delta$ que valga per a eixe punt (després punts distints poden usar deltes distintes):

$\cdots \mathrm{\forall }{x}_1\mathrm{\exists }\delta \cdots ,$

mentres que per a la continuïtat uniforme un primer deu trobar un $\delta$ que després li servixca per a qualsevol punt $x_1$ en el que vullga comprovar la condició:

$\cdots \mathrm{\exists }\delta \mathrm{\forall }{x}_1\cdots .$

Eixemples

La funció f(x)=1/x en x>0 és contínua pero no uniformemente contínua La funció f(x)=x és uniformemente contínua en l'interval [0,1]. Tot polinomi $p:ℂ\to ℝ$ el grau del qual siga major o igual que un és uniformemente continu en qualsevol interval tancat.