Valor principal

Comparació de les funcions nuguen i arcotangente de dos paràmetros

En matemàtiques, específicament en anàlisis complex, els valors principals d'una funció multivaluada són els valors en una branca elegida d'eixa funció, per lo que es convertix en una funció de valor únic. El cas més simple sorgix en prendre la raïl quadrada d'un número real positiu. Per eixemple, 4 té dos raïls quadrades: 2 i –2. D'estes dos raïls, la raïl positiva, 2, es considera la raïl principal i es denota com $\sqrt{4}$.

Motivació

Considere's la funció logaritmo complex log z. Es definix com número complejo w tal que

$e^w=z.$

Ara, per eixemple, suponga's que es desija determinar log i. Açò significa que es deu resoldre

$e^w=i$

per a w. Clarament, iπ/2 és una solució. ¿Pero és l'única solució?

Per supost, existixen atres solucions, lo que s'evidencia en considerar la posició de i en el pla complex i en particular el seu argument arg i. És possible rotar en sentit antihorario π/2 radianes des d'1 per a alcançar "i" inicialment, pero si es gira atres 2π radianes més s'aplega a i de nou. Llavors, es pot concloure que i(π/2 + 2π) és també una solució per a log i. Queda clar que es pot sumar qualsevol múltiple de 2πi a la solució inicial per a obtindre tots els valors de log i.

Pero açò té una conseqüència que pot resultar sorprenent en comparació a les funcions en valors reals: log i ¡no té un valor definit! Per a log z, es té

$\log z=\ln |z|+i\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z\right)=\ln |z|+i(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z+2\pi k)$

per a qualsevol número entero k, a on Arg z és l'argument (principal) de z definit per a que es trobe en l'interval $(-\pi ,\pi ]$. Com l'argument principal és únic per a un número complejo donat z, $-\pi$ no s'inclou en l'interval. Cada valor de k determina lo que es coneix com branca (o també full o làmina), un component de valor únic de la funció logaritmo de valors múltiples.

La branca corresponent a k = 0 es coneix com la branca principal i, en esta branca, els valors que pren la funció es coneixen com els valors principals.

Cas general

En general, si f(z) té múltiples valors, la branca principal de f es denota com

$\mathrm{p}\mathrm{v}f(z)$

de modo que per a z en el domini de f, pv f(z) té un sol valor.

Valors principals de funcions estàndar

Les funcions elementals de valor complex pot tindre varis valors en alguns dominis. El valor principal d'algunes d'estes funcions es pot obtindre descomponent la funció en atres més simples, per lo que el valor principal de les funcions simples és fàcil d'obtindre.

Funció logaritmo

S'ha examinat la funció logaritmo, és dir,

$\log z=\ln |z|+i\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z\right).$

Ara be, arg z és intrínsecament multivalor. A sovint es definix l'argument d'algun número complejo com entre $-\pi$ (exclós) i $\pi$ (inclós), per lo que es pren este com el valor principal de l'argument i s'escriu la funció de l'argument en esta branca com Arg z (en l'A mayúscula inicial). Usant Arg z en lloc de arg z, s'obté el valor principal del logaritmo i s'escriu

$\mathrm{p}\mathrm{v}\log z=\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}z=\ln |z|+i\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z\right).$

Raïl quadrada

Per a un número complejo $z=r{e}^{\varphi i}$, el valor principal del seu raïl quadrada és:

$\mathrm{p}\mathrm{v}\sqrt{z}=\sqrt{r}{e}^{i\varphi /2}$

en argument $-\pi <\varphi \le \pi .$

Argument complex

El valor principal del argument d'un número complejo medit en radianes es pot definir com:

• Valors en el ranc $[0,2\pi )$
• Valors en el ranc $(-\pi ,\pi ]$

Per a calcular estos valors es poden utilisar les funcions:

• Arcotangente de dos paràmetros en valor principal en el ranc $(-\pi ,\pi ]$
• Arcotangente en valor principal en el ranc $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

Vore també

• Branca principal
• Punt de ramificació