Àbac neperiano

Àbac neperiano

Àbac neperiano

El àbac de Napier és un àbac inventat per John Napier qui va publicar la descripció del mateix en una obra impresa en Edimburc a finals de 1617 titulada Rhabdologia. Per este método, els productes es reduïxen a operacions de suma i els cocients a restes; de la mateixa manera que en les taules de logaritmos, inventades per ell mateixa es transformen les potències en productes i les raïls en divisions.

Descripció

L'àbac consta d'un tauler en vorell en el que es colocaran les varetes neperianas per a realisar les operacions de multiplicació o divisió. El tauler té el seu vorell esquerre dividit en 9 caselles en les que s'escriuen els números 1 a 9.

Les varetes neperianas són tires de fusta, metal o cartó gros. La cara anterior està dividida en 9 quadrats, llevat el superior, dividits en dos mitats per un traç diagonal.

En la primera casella de cada vareta s'escriu el número, reblint les següents en el duplo, triplo, quàdruple i aixina successivament fins al nónuplo del número al que corresponga la vareta.

Els dígits resultats del producte s'escriuen un a cada costat de la diagonal i en aquells casos en els que siga inferior a 10, s'escriuen en la casella inferior, escrivint en la superior un zero.

Un joc consta de 9 varetes corresponents als dígits 1 a 9. En la figura s'ha representat ademés la vareta 0, que realment no és necessària per als càlculs.

Multiplicació

Proveïts del conjunt descrit, supongam que desigem calcular el producte del número 46785399 per 7.

En el tauler colocarem les varetes corresponents al número, tal com mostra la figura, fent posteriorment la llectura del resultat en la faixa horisontal corresponent al 7 del caseller del tauler, operació que solament requerix senzilles sumes, naturalment en carrege dels dígits situats en diagonal.

Començant per la dreta obtindrem les unitats (3), les decenes (6+3=9), les centenes (6+1=7), etc.

Si algun dígit del número que desigem multiplicar fòra zero, bastaria deixar un buit entre les varetes.

Supongam que volem multiplicar el número anterior per 96.431; operant análogamente al cas anterior obtindrem ràpidament els productes parcials del número per 9, 6, 4, 3 i 1, colocant-los correctament i sumant, obtindrem el resultat total.

Erro al crear miniatura:

Divisió

Igualment podrien realisar-se divisions una volta coneguts els 9 productes parcials del divident; determinats estos per mig de l'àbac, basta seleccionar l'immediatament inferior al restant sense necessitat de realisar els molests tantejos que requerixen les divisions realisades a mà.

En l'eixemple, per a fer l'operació anterior, se seguix el método següent:

• El divident (46.785.399) té huit dígits i el divisor (96.431) té cinc. Per tant, el cocient tindrà 8 - 5 = 3 dígits. Com a màxim, el cocient podria tindre 8 - 5 + 1 = 4 dígits, pero en ser el 4 del divident menor que el 9 del divisor, el cocient és de 3 dígits. Estes qüestions pertanyen a l'aritmètica.

Això fa que calga desplaçar els 3 - 1 = 2 dígits del divident, quedant el número 467.853 com el minuent al que cal buscar-li el substraendo adequat.

Usant la taula neperiana obtinguda, es busca el número menor més propenc a 467.853, que resulta ser el 385.724, que és substraendo de l'operació i el número associat de la qual en la taula neperiana és el 4, número que forma part del cocient. El resultat de la resta és 82.129.

• Al número resultant (82.129), se li afig un nou que abans havia segut despreciat, quedant el 821.299.

De nou, cal realisar l'operació de resta a 821.299 (minuent) en el substraendo menor més propenc de la taula neperiana, que és el 771.448, el número associat del qual és huit i que la seua resta obté el 49.851.

• Al número més pròxim, que és el 482.155, el número associat del qual és el cinc. La resta té per resultat 16.364.

• ya que el 16.364 és menor que qualsevol dels números de la taula neperiana i, ademés, ya s'han obtingut els tres dígits del cocient: 4, 8 i 5, ya s'ha obtingut el restant de l'operació.

El resultat és per tant el següent (com es pot vore en la taula):

Nom	Valor
Divident	46.785.399
Divisor	96.431
Cocient	485
Restant	16.364

Raïl quadrada

Com sabem, per a extraure una raïl quadrada primerament, deu agrupar-se els dígits de dos en dos des de la menge, tant cap a la dreta com l'esquerra, quedant el número de la forma següent:

... xx xx xx xx, xx xx xx...

Per eixemple: el número 458938,34 quedaria 45 89 38, 34.

Prenent el parell (que podrà ser un sol dígit) de l'esquerra (xx), s'obté la sifra a sancera tal que el seu quadrat siga igual o menor que el parell. Esta serà la primera sifra de la solució. Restant del parell el quadrat del sancer aixina trobat, obtenim el restant:

r_a = xx - a² (Si el primer parell fora 07, la sifra a seria 2, i el restant 7-4=3)

Posteriorment, i de forma iterativa, s'afig al restant el següent parell, quedant un número de la forma yxx (i, el restant anterior, xx el parell afegit) que cridarem Ra. La següent sifra de la solució deurà ser tal que el quadrat de la solució parcial ab (sent ab un número de dos dígits, no un producte) siga menor que xxxx (els dos primers parells del radicant):

(ab)² = (a·10 + b)² = (a·10)² + 2·a·10·b + b² < xxxx

Rebujant:

2·a·10·b + b² < xxxx - (a·10)² = R

(2·a·10 + b)·b < Ra (I)

Operant d'igual modo una volta conegudes les sifres ab, deurà determinar-se la tercera sifra de la solució (c) i següents (d, i, ...) que, com fàcilment es pot demostrar operant análogamente al cas anterior, deuran complir:

(2·(ab)·10 + c)·c < Rb (II)

(2·(abc)·10 + d)·d < Rb (III)

(2·(abcd)·10 + i)·i < Rb (IV)

...

Els productes indicats poden obtindre's fàcilment en l'àbac de Napier, pero per a això és necessària una vareta auxiliar tal que en cada faixa horisontal arreplegue els quadrats dels números corresponents.

Coneguda la primera sifra a, coloquem en l'àbac la (o les) varetes corresponents al duplo de a. Fet açò, bastarà afegir la vareta dels quadrats per a trobar el número tal que es complixca l'equació (I), que serà el corresponent a la faixa b. Dit número deurà sostraure's de Ra per a trobar Rb.

Trobat b, retirem la vareta auxiliar dels quadrats i coloquem en el tauler la vareta corresponent a 2·b; poden donar-se dos casos, si b és menor que 5, el doble tindrà solament una sifra en la que bastarà colocar la vareta; en cas contrari (igual o major que 5) el duplo serà major de 10, per lo que serà necessari incrementar l'última vareta colocada en una unitat.

Vejam-ho en un eixemple. Desigem obtindre la raïl quadrada del número 46 78 53 99. Prenem el primer parell (46) i determinem el quadrat immediatament inferior, que resulta ser 36 (49 que és el següent és major que 46), de modo que la primera sifra de la solució és 6, i el restant: 46 - 6·6 = 46 - 36 = 10.

Coloquem les varetes de 6·2 = 12 en el tauler, i seguidament la vareta auxiliar dels quadrats. Componem el restant i el següent parell obtenint el número 1078 que no deurà ser superat pel quadrat de (6b). Llegim en l'àbac (1) el valor 1024, trobant que b= 8 i el nou restant 1078 - 1024 = 54, descendint el següent parell, obtenim un valor de 545312.

Coloquem les varetes corresponents al doble de 8; per ser 16 (>10), retirarem l'última vareta, la del 2, substituint-la per la del 3 (és dir, li vàrem sumar una unitat) i afegim la vareta del 6. L'àbac queda com es mostra en (2a). Com pot observar-se, les sifres colocades són les corresponents al doble de la solució trobada fins al moment (68·2 = 136); és dir, el 2abc de les equacions anteriors.

Archiu:Abaco de Napier (raiz cuadrada).png

Fet açò, tornem a colocar la vareta auxiliar, i operant com en el cas anterior, obtenim (2b) la tercera sifra: 3, sent el restant 1364. Descendim el següent parell obtenint un valor 136499, coloquem la vareta 6 (3·2) i trobem el següent dígit 9 i el restant 13478. Mentres el restant siga distint de zero es pot seguir obtenint sifres significatives.

Per eixemple, per a obtindre el primer decimal, baixaríem el parell 00 obtenint el número 1347800 i colocaríem les varetes del 9·2 = 18, quedant en el tauler les següents: 1-3-6-7(6+1)-8-auxiliar. Fent la comprovació, s'obté el primer decimal = 9.

Modificacions

Archiu:Napier Modification.png

Durant el XIX, l'àbac neperiano va sofrir una transformació per a facilitar la llectura. Les varetes varen començar a fabricar-se en un inclinament de l'orde de 65º, de modo que els triànguls que devien sumar-se quedaren alineats verticalment. En este cas, en cada casella de la vareta es consigna l'unitat a la dreta i la decena (o el zero) a l'esquerra.

Les varetes estaven fabricades de modo tal que el gravat vertical i horisontal era més visible que les juntes entre les varetes, facilitant-se molt la llectura en quedar el parell de components de cada dígit del resultat en un rectàngul.

Aixina, en la figura s'aprecia immediatament que:

987654321 x 5 = 4938271605

Àbac de fiches

Archiu:Museo Arqueológico Nacional - 52698 - Ábaco neperiano 01.jpg

Àbac del Museu Arqueològic Nacional, Madrit

Archiu:Museo Arqueológico Nacional - 52698 - Ábaco neperiano 02.jpg

Detall

Ademés de l'àbac anterior, Napier va construir un àbac de fiches. Abdós reunits en un únic aparat constituïxen una joya històrica, única en Europa, que posseïx el Museu Arqueològic Nacional espanyol.

L'aparat és una magnífica caixa de fusta en incrustaciones d'os. En la part superior conté l'àbac rabdológico, mentres que en l'inferior es troba el segon àbac que consta de 300 fiches almagasenades en 30 caixons de les que 100 estan cobertes de sifres i doscentes mostren menuts taladros triangulars que permeten vore únicament certes sifres de les fiches de números quan se superponen a aquelles, de forma tal que gràcies a l'hàbil colocació d'uns i uns atres poden realisar-se multiplicacions fins al sorprenent llímit d'un número de 100 sifres per un atre de 200.

En les portezuelas de la caixa es troben ademés les primeres potències dels números dígits, els coeficients dels térmens de les primeres potències del binomi i les senyes numèriques dels poliedres regulars.

Es desconeix quí va ser l'autor d'esta riquíssima joya, ni si és d'autoria espanyola o vi de l'estranger, encara que és provable que originalment pertanyguera a l'Acadèmia de Matemàtiques creada per Felipe II o que la duguera com a regal el Príncip de Gales. Lo únic que pot assegurar-se és que es conservava en Palau, d'a on va passar a la Biblioteca Nacional i posteriorment al Museu Arqueològic Nacional, a on encara es conserva.

En 1876, el govern espanyol va enviar l'aparat a l'exposició d'instruments científics celebrada en Kensington, a on va cridar extraordinàriament l'atenció, fins al punt de que vàries societats varen consultar a la representació espanyola sobre l'orige i us de l'aparat, lo que va motivar que D. Felipe Picatoste escriguera una monografia que va anar posteriorment enviada a totes les nacions, sorprenent el fet de que l'àbac solament fora conegut en Anglaterra, país d'orige del seu inventor.

Bibliografia

• (1887) Diccionari Enciclopèdic Hispà-Americà, Barcelona (Espanya): Montaner i Simon, pp. 19-20.