Àlgebra de von Neumann

En matemàtiques, un àlgebra de von Neumann o W*-àlgebra és una *-àlgebra d'operadors acotats definits en un espai de Hilbert que és tancat en la topología d'operadors dèbil i conté al operador identitat. És un tipo especial de C*-àlgebra.

Les àlgebra de von Neumann varen ser introduïdes originalment per John von Neumann, motivades pel seu estudi de la teoria de l'operador únic, la representació de grups, la teoria ergòdica i la mecànica quàntica. La teorema del doble commutador de von Neumann mostra que la definició analítica és equivalent a una definició purament algebraica com àlgebra abstracta de simetria.

Dos eixemples bàsics de àlgebra de von Neumann són els següents:

l'anell $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ de funcions mesurables essencialment acotades de la recta real és un àlgebra de von Neumann conmutativa, els elements de la qual actuen com operadors de multiplicació puntual en l'espai de Hilbert $L^2(ℝ)$ de funció quadrat-integrables.

L'àlgebra $ℬ(\mathscr{H})$ de tots els operadors acotats en un espai de Hilbert $\mathscr{H}$ és un àlgebra de von Neumann, no conmutativa si l'espai de Hilbert té dimensió a lo manco $2$.

Les àlgebra de Von Neumann varen ser estudiades per primera volta per von Neumann (1930) en 1929; qui junt a Francis Murray va desenrollar la teoria bàsica, baix el nom original de "anells d'operadors", en una série d'artículs escrits en les décades de 1930 i 1940 (Murray & von Neumann  (1936, 1937, 1943); i von Neumann (1938, 1940, 1943, 1949)), reimpreso en les obres completes de von Neumann (1961).

Els texts introductoris de àlgebra de von Neumann es donen en les notes en llínea de Jones (2003) i Wassermann (1991) i els llibres de Dixmier (1981),Schwartz (1967),Blackadar (2005) i Sakai (1971). El treball de tres volums de Takesaki (1979) dona una explicació enciclopèdica de la teoria. El llibre de Connes (1994) discutix temes més alvançats.

Definicions

Hi ha tres formes comunes de definir les àlgebra de von Neumann.

La primera i més comuna forma és definir-los com *-àlgebras unitàries débilmente tancades d'operadors acotats (en un espai de Hilbert). En esta definició, la topología dèbil pot ser reemplaçada per moltes atres topología d'operador topología comunes incloent les topología fortes, ultrafuertes o ultradébiles d'operadors. Les *-àlgebra d'operadors acotats que estan tancades en la topología de la norma són C*-àlgebras, per lo que en particular qualsevol àlgebra de von Neumann és una C*-àlgebra.

La segona definició és que un àlgebra de von Neumann és una subálgebra dels operadors acotats tancats baix involució (la *-operació) i igual al seu doble commutador, o equivalentemente el commutador d'alguna subálgebra tancada baix *. La teorema del doble commutats de von Neumann Plantilla:Harv diu que les dos primeres definicions són equivalents.

Les dos primeres definicions descriuen un àlgebra de von Neumann concretament com un conjunt d'operadors que actuen sobre algun espai de Hilbert donat. Sakai (1971) va demostrar que les àlgebra de von Neumann també poden definir-se abstractamente com C*-àlgebra que tenen un predual; en atres paraules, l'àlgebra de von Neumann, considerada com un espai de Banach, és el dual d'algun atre espai de Banach cridat predual. El predual d'un àlgebra de von Neumann és de fet únic llevat isomorfismes. Alguns autors usen el terme "àlgebra de von Neumann" per a les àlgebra junt en una acció espacial de Hilbert, i "W*-àlgebra" per al concepte abstracte, per lo que un àlgebra de von Neumann és una W*-àlgebra junt en un espai de Hilbert i una acció unitària fidel adequada en l'espai de Hilbert. Les definicions concretes i abstractes d'un àlgebra de von Neumann són similars a les definicions concretes i abstractes d'una C*-àlgebra, que poden definir-se com a *-àlgebra norma-tancades d'operadors en un espai de Hilbert, o com a *-àlgebra de Banach tals que || aa*||=|| a|| || a*||.