Acceleració angular

Acceleració angular

Es definix la acceleració angular com el canvi que experimenta la velocitat angular per unitat de temps. Es denota per la lletra grega alfa $\alpha$. De la mateixa manera que la velocitat tangencial , l'acceleració angular té caràcter vectorial.

S'expressa en radianes per segon al quadrat, o s^-2, ya que el radián és adimensional.

Definició matemàtica

Acceleració angular. En el cas general, quan l'eix de rotació no manté una direcció constant en l'espai, l'acceleració angular no té la direcció de l'eix de rotació.

Definim el vector acceleració angular, i ho representem per $𝜶$, de modo que

$𝜶=\frac{d𝝎}{dt}$

sent $𝝎$ el vector velocitat angular del cos al voltant del eix de rotació. Si denominem per $𝐞$ el vector unitari associat a dit eix, de modo que siga $𝝎=\omega 𝐞$, podem escriure

resultant que, en general, el vector $𝜶$ no està localisat sobre l'eix de rotació.

En el cas particular de que l'eix de rotació mantinga una orientació fixa en l'espai (moviment pla), llavors serà $d𝐞/dt=0$ i el vector acceleració angular $𝜶$ estarà localisat sobre l'eix de rotació. Açò és,

de modo que el mòdul de l'acceleració angular, $|𝜶|=\alpha$, és la derivada de la celeritat angular sobre el temps (o la derivada segona de l'àngul de rotació sobre el temps), la seua direcció és la de $𝝎$ quan la celeritat angular aumenta en el temps, o $-𝝎$ si disminuïx.

En el cas general, quan l'eix de rotació no manté una direcció fixa en l'espai, serà $d𝐞/dt\ne 0$, encara que $|𝐞|=1$, ya que el vector unitari de l'eix canvia de direcció en el transcurs del moviment. ya que $𝐞$ és un versor, la seua derivada serà un vector perpendicular a $𝐞$, açò és, al eix instantàneu de rotació.

Aixina que, en el cas més general, l'acceleració angular $𝜶$ s'expressarà en la forma

sent $𝜴$ la velocitat angular associada a la rotació de l'eix o precesión de l'eix de rotació (definit per $𝐞$) en l'espai.

En l'expressió anterior observarem que el vector acceleració angular té dos components: una component llongitudinal ( i.i., en la direcció de l'eix de rotació) el mòdul de la qual és $d\omega /dt$ i una component travessera (i.i., perpendicular a l'eix de rotació) el mòdul de la qual és $𝜴\times 𝝎$.

Aixina que, en general,

• el vector $𝜶$ no tindrà la mateixa direcció que el vector $𝝎$.
• el vector acceleració angular $𝜶$ no tindrà la direcció de l'eix de rotació.

La direcció de l'acceleració angular només coincidix en la del vector velocitat angular, o siga, en l'eix de rotació, en el cas de que dit eix mantinga la seua orientació fixa en l'espai, açò és, en el moviment pla.

Moviment pla

En el moviment pla del sòlit rígit, l'acceleració angular, de la mateixa manera que la velocitat angular, té la direcció de l'eix de rotació i ve donada per:

$\alpha =\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{d\omega }{dt}$

a on $\theta$ representa l'àngul girat en funció de $t$ i $\omega$ la velocitat angular.

$\omega =\frac{d\theta }{dt}$

En el moviment pla tant la velocitat angular com l'acceleració angular són vectores perpendicular al pla en el que es produïx el moviment.