Biplot

Archiu:BiplotIris.svg

Els Biplots són un tipo de gràfic exploratori usat en Estadística. Es tracta d'una generalisació multivariante d'un diagrama de dispersió de dos variables. . De la mateixa manera que un diagrama de dispersió mostra la distribució conjunta de dos variables, un BIPLOT representa tres o més variables. El biplot aproxima la distribució d'una mostra multivariante en un espai de dimensió reduïda, normalment de dimensió dos, i superpon sobre la mateixa representacions de les variables sobre les que es medix la mostra. Un biplot permet mostrar gràficament l'informació de les files (individus, casos objectes, etc ....) i les columnes (variables) d'una matriu de senyes multivariantes. El prefix bi es referix a este fet i no a que el gràfic es fa normalment en dos dimensions. La reducció de la dimensió a solament dos o tres es conseguix quan les variables estan relacionades entre sí.

Les files es representen normalment com a punts mentres les variables són representades per mig de vectores, eixos llineals, trayectòries no llineals o regions de predicció. Les variables contínues es representen normalment per mig de llínees rectes mentres que les variables categòriques representen per mig de regions de predicció i punts per a cada nivell. Hi ha moltes generalisacions del concepte general que inclouen la possibilitat de representar trayectòries no llineals, mètriques diferents de l'identitat, proyectar variables externes, etc ....

Encara que s'ha estés prou en els últims anys, no sempre ha tingut el tractament que mereix ya que molts treballs que usen, per eixemple, un Anàlisis de Components Principals entre moltes atres tècniques, serien susceptibles de millorar incorporant la versió i l'interpretació biplot.

Introducció i història

El biplot va ser introduït per K. Ruben Gabriel (1971).^[1] El biplot inicial de Gabriel esta una extensió de l'Anàlisis de Components Principals basat en la Descomposició en valors singulars. Gabriel (1972)^[2] estén el método a l'Anàlisis Canònic per a la separació de grups. Gower i Hand (1996)^[3] varen escriure la primera monografia sobre biplots en la que inclouen diversos tipos associats en vàries tècniques multivariantes. Galindo (1985)^[4] realisa una versió simètrica similar a l'Anàlisis de Correspondències que representa files i columnes en la mateixa calitat. Yan i Kang (2000)^[5] varen descriure varis métodos que poden ser utilisats per a visualisar i interpretar un biplot, especialment en el context de l'estudi de l'interacció genotip-ambiente en estudis agrícoles. Vicente-Villardón(2006)^[6] propon un biplot llineal per a senyes binarios que denomina "Biplot Llogístic" ya que la relació entre les variables observades i les dimensions del biplot es modela per mig d'una curva de resposta llogística. El llibre de Greenacre (2010)^[7] és una guia orientada a l'usuari de biplots, junt en el còdic en el llenguage de programació de còdic obert R, per a generar biplots associats en Anàlisis de Components Principals (ACP), Escalamiento Multidimensional (MDS), anàlisis log-ràtio (LRA) (també conegut com a mapage espectral- spectral mapping-)^[8]^[9] Anàlisis Discriminante (DA) i vàries formes d'Anàlisis de Correspondències: Anàlisis de Correspondències Simples (CA), Anàlisis de Correspondències Múltiples (MCA) i Anàlisis Canònic de Correspondències (CCA). El llibre de Gower, Lubbe i li Roux (2011)^[10] té per objectiu popularisar els biplots com a método útil i fiable per a la visualisació de senyes multivariantes quàn els investigadors volen considerar, per eixemple, Anàlisis de Components principals (PCA), Anàlisis Canònic de Poblacions (CVA) o varis tipos d'Anàlisis de Correspondències. Recentment s'han desenrollat noves versions per a Mínims quadrats parcials (PLS Biplot^[11]), Biplot Llogístic per a senyes nominals i ordinals, etc ...

Biplot General

Representació biplot en proyeccions sobre una de les variables

Siga $𝐘$ una versió transformada de la matriu de senyes $𝐗$ , la n de les quals files són individus (també cridades mostres, casos, objectes, etc ...), i la p del qual columnes són les variables. La matriu de senyes inicial es transforma normalment restant la mija de les seues columnes i dividint per la seua desviació típica. Cridarem r al ranc de $𝐘$ . D'acort en Gabriel (1971)^[1] un Biplot es construïx usant una factorización de la matriu de senyes en el producte d'atres dos de ranc menor s, normalment 2 o 3,

$𝐘 ≅ 𝐀 𝐁^{T}$ ( $𝐘 = \hat{𝐘} + 𝐄 = 𝐀 𝐁^{T} + 𝐄$ )

a on $𝐀$ és una matriu $n \times s$ , $𝐁$ és una matriu $p \times s$ i $𝐄$ és una matriu de residuals. La descomposició se seleccionarà per a que els valors de la matriu de senyes s'aproximen lo millor possible. Les files $(𝐚_{1}, \dots, 𝐚_{n})$ de $𝐀$ i les files $(𝐛_{1}, \dots, 𝐛_{p})$ de $𝐁$ poden prendre's com a marcadors dels individus i les variables en $𝐘$ i representar-se com vectores (o punts) en un espai euclídeo de dimensió reduïda de manera que el producte escalar d'una marcador fila per un marcador columna aproximen el valor corresponent de la matrix de senyes original

$y_{i j} ≅ 𝐚_{i}^{T} 𝐛_{j}$ ( $y_{i j} = 𝐚_{i}^{T} 𝐛_{j} + e_{i j}$ )

és dir, la representació gràfica corresponent al model en ranc reduït s'interpreta en térmens de productes escalares.

La bondat d'ajust de l'aproximació és

$ρ = \frac{t r ({\hat{𝐘}}^{T} \hat{𝐘})}{t r (𝐘^{T} 𝐘)}$

Una representació Biplot típica és un conjunt de punts que representen a les files i un conjunt de vectores que representen a les columnes de la matriu de senyes. Cada element de la matriu de senyes s'aproxima com el producte escalar del vector (punt) que representa a la seua fila pel vector que representa a la seua columna. Proyectant cada punt fila sobre la direcció (vector) que representa a una variable i multiplicant-la per la llongitut del vector tindrem l'aproximació d'una columna completa de la matriu de senyes. Com normalment tindrem senyes centrades, els punts que es proyecten en la direcció positiva de la flecha són els que es troben per damunt de la mija i els punts que es proyecten en la prolongació en sentit contrari tindran valors per baix de la mija ya que l'orige de coordenades representa les miges de les variables. Quant més s'allunta la proyecció de l'orige, major és la magnitut de la diferència en la mija. Atres tipos de transformacions prèvies necessitarien un estudi més detallat de l'interpretació concreta de la transformació.

Representació biplot en escales graduades i proyeccions sobre una de les variables

Les direccions que representen a les variables poden completar-se en escales graduades per a predir els valors originals. Per a això basta comprovar que la predicció del valor unitari de cada variable es realisa en el punt $(x, y) = \frac{𝐛_{j}}{𝐛_{j}^{'} 𝐛_{j}}$ . Colocant valors en $(x_{μ}, y_{μ}) = μ \frac{𝐛_{j}}{𝐛_{j}^{'} 𝐛_{j}}$ i fent variar els valors de $μ$ en la forma desijada obtindrem l'escala graduada. Els valors de $μ$ servixen per a etiquetar les escales. La graduació de les escales no depén de la factorización elegida. La bondat de l'ajust per a les proyeccions en una variable j pot calcular-se dividint la suma de quadrats dels valors ajustats de la columna corresponent entre la suma de quadrats total de la mateixa columna.

$ρ_{j}^{2} = \frac{t r ({\hat{𝐲}}_{j}^{T} {\hat{𝐲}}_{j})}{t r (𝐲_{j}^{T} 𝐲_{j})}$

que es coneix com predictividad o calitat de representació de la variable j-ésima. Si les columnes de la matriu de senyes estan centrades, $ρ_{j}^{2}$ és el coeficient de correlació al quadrat entre els valors ajustats i els observats, és dir, el percentage de la variabilitat de la variable explicat pel biplot. La mida servix com a ajuda per a interpretar qué variables estan adequadament representades en el gràfic. Un raonament anàlec podria fer-se per a l'aproximació de les files, encara que podem afegir una interpretació adicional $ρ_{i}^{2}$ seria el coseno al quadrat de l'àngul que forma el vector en l'espai en dimensió completa i la seua proyecció en dimensió reduïda .

La factorización de la matriu no és única ya que si $𝐘 ≅ 𝐀 𝐁^{T}$ és una factorización biplot vàlida i $𝐑$ és una matriu $s \times s$ no singular, $𝐘 ≅ (𝐀 𝐑^{- 1}) (𝐑 𝐁^{T})$ també ho és. Per a obtindre una representació única podem impondre restriccions sobre $𝐀$ i $𝐁$ o seleccionar factorización particulars en propietats interessants des del punt de vista estadístic.

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 'Gabriel, K. R. (1971). The biplot graphic display of matrius with application to principal component analysis. Biometrika, 58(3), 453-467.
↑ Gabriel, K. R. (1972). Analysis of meteorological data by means of canonical decomposition and biplots. Journal of Applied Meteorology, 11 ☁
↑ Gower, J. C., & Hand, D. J. (1995). Biplots (Vol. 54). CRC Press.
↑ Galindo Villardon, M. (1986). Una alternativa de representacion simultanea: HJ-Biplot. Qüestiió. 1986, vol. 10, núm. 1.
↑ Yan, W., Hunt, L. A., Sheng, Q., & Szlavnics, Z. (2000). Cultivar evaluation and mega-environment investigation based on the GGE biplo<meta />t. Crop Science, 40(3), 597-605.
↑ Vicente-Villardón, J. L., Galindo-Villardón, M. P., & Blázquez-Zaballos, A. (2006). Logistic biplots. Multiple correspondence analysis and related methods. London: Chapman & Hall.
↑ Greenacre, M. J. (2010). Biplots in practice. Fundacion BBVA.
↑ (2005).«Spectral mapping, a personal and historical account of an adventure in multivariate data analysis».Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems.77(1-2)
215–223.doi:10.1016/j.chemolab.2004.07.010.
↑ David Livingstone (2009). A Practical Guide to Scientific Data Analysis. Chichester, John Wiley & Sons Ltd, 233-238. ISBN 978-0-470-85153-1
↑ Gower, J. C., Lubbe, S. G., & Li Roux, N. J. (2011). Understanding biplots. John Wiley & Sons.
↑ Oyedele, O. F., & Lubbe, S. (2015). The construction of a partial least-squares biplot. Journal of Applied Statistics, 42(11), 2449-2460.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Biplot» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:3-1] 1,0 ^1,1 'Gabriel, K. R. (1971). The biplot graphic display of matrius with application to principal component analysis. Biometrika, 58(3), 453-467.

[:4-2] Gabriel, K. R. (1972). Analysis of meteorological data by means of canonical decomposition and biplots. Journal of Applied Meteorology, 11 ☁

[3] Gower, J. C., & Hand, D. J. (1995). Biplots (Vol. 54). CRC Press.

[:5-4] Galindo Villardon, M. (1986). Una alternativa de representacion simultanea: HJ-Biplot. Qüestiió. 1986, vol. 10, núm. 1.

[5] Yan, W., Hunt, L. A., Sheng, Q., & Szlavnics, Z. (2000). Cultivar evaluation and mega-environment investigation based on the GGE biplo<meta />t. Crop Science, 40(3), 597-605.

[6] Vicente-Villardón, J. L., Galindo-Villardón, M. P., & Blázquez-Zaballos, A. (2006). Logistic biplots. Multiple correspondence analysis and related methods. London: Chapman & Hall.

[7] Greenacre, M. J. (2010). Biplots in practice. Fundacion BBVA.

[8] (2005).«Spectral mapping, a personal and historical account of an adventure in multivariate data analysis».Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems.77(1-2)
215–223.doi:10.1016/j.chemolab.2004.07.010.

[9] David Livingstone (2009). A Practical Guide to Scientific Data Analysis. Chichester, John Wiley & Sons Ltd, 233-238. ISBN 978-0-470-85153-1

[10] Gower, J. C., Lubbe, S. G., & Li Roux, N. J. (2011). Understanding biplots. John Wiley & Sons.

[11] Oyedele, O. F., & Lubbe, S. (2015). The construction of a partial least-squares biplot. Journal of Applied Statistics, 42(11), 2449-2460.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]