Factorización de matrius

En àlgebra llineal la factorización d'una matriu és la descomposició de la mateixa com a producte de dos o més matrius segons una forma canònica.

Segons les aplicacions de la factorización podem distinguir els següents tipos d'factorización:

Resolució de sistemes d'equacions llineals

Les següents factorización s'utilisen en la resolució de sistemes d'equacions llineals, càlcul de determinants i inversió de matrius.

Factorización LU

• Aplicable a: una matriu quadrada A
• Factorización: $A=LU$, a on L és una matriu triangular inferior i O és una matriu triangular superior
• Notes: La factorización LU expressa el método de Gauss en forma matricial. En efecte, PA = LU a on P és una matriu de permutació. Els elements de la diagonal principal de L són tots iguals a 1. Una condició suficient de que existixca la factorización és que la matriu A siga invertible.
• Resolució del sistema d'equacions llineals Ax = b: primer es resol el sistema d'equacions Ly = b i despuix Ux = i.
• Existència: Una condició necessària i suficient és que tots els menors principals de A siguen distints de zero.
• Métodos de càlcul: método de Crout que obté una matriu O els elements de la qual de la diagonal són tots 1. El método de Doolittle és una modificació del mateix.

Factorización $LD{L}^T$

• Aplicable a: una matriu simètrica A.
• Factorización: $A=LD{L}^T$ a on L és una matriu triangular inferior en uns en la diagonal i $L^T$ denota la seua matriu trasponer. La factorización és única.
• Existència: Una condició suficient és que tots els menors principals de A siguen distints de zero.
• Notes: Si la matriu és definida positiva la factorización existix i és única sent els elements de la diagonal positius.

Factorización de Cholesky

• Aplicable a: una matriu simètrica definida positiva A
• Factorización: $A=L{L}^T$, a on L és una matriu triangular inferior en entrades en la diagonal positives.
• Notes: La factorización sempre existix i és única.

Factorización QR o triangularización ortogonal

• Aplicable a: una matriu A m per n.
• Factorización: $A=QR$ a on Q és una matriu ortogonal m per m, i R és una matriu triangular superior m per n.

• Métodos de càlcul: La factorización QR pot calcular-se per mig del procés de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicat a les columnes de A, per mig de l'us de transformacions de Householder i per mig de transformacions de Givens.
• Notes: La factorización QR pot utilisar-se per a "resoldre" el sistema d'equacions llineals Ax = b quan el número d'equacions és distint al d'incògnites.

Descomposició en valors singulars

• Aplicable a: una matriu A m-per-n.
• Factorización: $A=U\Sigma V^T$, a on Σ és una matriu diagonal mxn, i O i V són matrius ortogonals mxm i nxn respectivament, sent $V^T$ la trasponer de V. Els elements de la diagonal de Σ sò els valors singulars de A i són majors o iguals a zero.
• Notes: a la matriu $V{\Sigma }^{+}{U}^T$, a on ${\Sigma }^{+}$ és igual a la matriu Σ reemplaçant els valors singulars pels seus recíprocs, se li crida pseudoinversa de A.

Atres tipos d'factorización

Diagonalización d'una matriu

• Aplicable a: una matriu quadrada A
• Factorización: A = CDC^-1
• Existència:

Forma canònica de Jordan

• Aplicable a: una matriu quadrada B
• Factorización:

Factorización de ranc

• Aplicable a: una matriu A de dimensions $m\times n$
• Factorización: $A=CF$, a on $C$ és una matriu $m\times r$ i $F$ és una matriu $r\times n$

Factorización de Schur

• Aplicable a: una matriu quadrada A
• Factorización:

Tridiagonalización

• Aplicable a: una matriu quadrada simètrica A
• Factorización:

Vore també

• Càlcul matricial

Bibliografia

• De la Font O'Connor, José Luis (1998). Tècniques de càlcul per a Sistemes d'Equacions, Programació Llineal i Programació Sancera, Barcelona: Reverté, S.A..