Càlcul visual

Teorema de Mamikon: l'àrea dels distints conjunts de peces tangentes és la mateixa. En este cas, la curva original de la que s'han extret les peces tangentes és un semicírcul.

El càlcul visual, inventat per Mamikon Mnatsakanian (conegut com Mamikon), és un enfocament per a resoldre gràficament varis tipos de problemes de càlcul integral. Molts problemes que d'una atra manera semblarien prou difícils, se solucionen gràcies a este método en a penes una llínea de càlcul. Estos sorprenents resultats estarien relacionats en lo que el matemàtic Martin Gardner cridava "Solucions ¡Ajá!", o Roger Nelsen denominava una demostració sense paraules.

Descripció

Ilustració del método de Mamikon demostrant que les àrees de dos anells en la mateixa llongitut de corda són les mateixes independentment dels radis interns i externs.

Mamikon va idear el seu método en 1959 quan era estudiant, primer aplicant-ho a un problema de geometria conegut: determinar l'àrea d'un anell (corona circular), donada la llongitut de la cuerdo tangente a la circumferència interior. Sorprenentment, no es necessita informació adicional, la solució no depén de les dimensions internes i externes de l'anell.

L'enfocament tradicional implica l'àlgebra i l'aplicació de la teorema de Pitágoras. El método de Mamikon, no obstant, visualisa una construcció alternativa de l'anell: primer es dibuixa el círcul intern, després es fa una tangente de llongitut constant per a recórrer la circumferència, "agranant" l'anell a mida que alvança.

Ara be, si totes les tangentes (de llongitut constant) utilisades en la construcció de l'anell es traslladen per a que els seus punts de tangència coincidixquen, el resultat és un disc circular de radi conegut (i àrea fàcilment calculable). De fet, ya que el radi del círcul intern és irrellevant, es podria haver començat en un círcul de radi zero (un punt) i agranar un círcul al voltant d'un círcul de radi zero, lo que és indistinguible de simplement rotar un segment de llínea al voltant d'un dels seus punts finals i agranar un círcul.

L'idea de Mamikon era reconéixer l'equivalència de les dos construccions; i ya que són equivalents, deuen posseir àrees iguals. Ademés, sempre que la llongitut de la tangente siga constant, les dos curves de partida no necessiten ser circulares, una troballa que no es prova fàcilment en métodos geomètrics més tradicionals. D'ací es deduïx la Teorema de Mamikon:

L'àrea d'una agranada tangente és igual a l'àrea del seu agregat tangente, independentment de la forma de la curva original.

Aplicacions

Tom Apostol ha elaborat una introducció al tema molt inteligible, en la que demostra que els problemes de determinar l'àrea d'una cicloide i d'una tractriz poden ser resolts per estudiants molt jóvens. "Ademés, el nou método també resol alguns problemes sense solució per métodos de càlcul i permet moltes generalisacions impensables encara desconegudes en matemàtiques". També menciona que combinar el método de Mamikon en la solució geomètrica produïx una nova prova de la Teorema de Pitágoras. Les solucions a molts atres problemes apareixen en el lloc web de Mamikon dedicat al Càlcul Visual.

Àrea d'una cicloide

Càlcul de l'àrea d'una cicloide utilisant la teorema de Mamikon.

L'àrea d'una cicloide es pot calcular considerant l'àrea entre la pròpia cicloide i el rectàngul circumdant. Estes tangentes es poden agrupar per a formar un círcul. Si la circumferència que genera la cicloide té ràdio r, este círcul també té ràdio r i àrea πr². L'àrea del rectàngul és $2r\times 2\pi r=4\pi r^2$. Per lo tant, l'àrea de la cicloide és $3\pi r^2$: és 3 voltes l'àrea de la circumferència generadora.

El grup de tangentes pot vore's com un círcul perque la cicloide es genera per mig d'una circumferència i cada tangente a la cicloide forma un àngul recte en la llínea des del punt de generació fins al punt de gir. Per lo tant, la tangente i la llínea al punt de contacte formen un triàngul rectàngul en el círcul generador. Açò significa que agrupades juntes, les tangentes descriuran la forma del círcul generador.