Círcul de Mohr

Archiu:Mohr Circle.svg

Círculs de Mohr per a representar un estat de tensió tridimensional en un punt

El círcul de Mohr és una tècnica usada en ingenieria i geologia para representar gràficament un tensor simètric (de 2x2 o de 3x3) i calcular moments d'inèrcia, deformacions i tensions, adaptant els mateixos a les característiques d'una circumferència (ràdio, centre, etc.). També és possible el càlcul del esforç tallant màxim absolut i la deformació màxima absoluta.

Este método va ser desenrollat cap a 1882 pel ingenier civil alemà Christian Otto Mohr (1835-1918).

Circumferència de Mohr per a esforços

Case bidimensional

Archiu:Mohrs circle.svg

Circumferència de Mohr per a un estat de tensió bidimensional

En dos dimensions, la circumferència de Mohr permet determinar la compressió màxima i mínima, a partir de dos medicions de la tensió normal i tangencial sobre dos ànguls que formen 45°:

NOTA: L'eix vertical es troba invertit, per lo que esforços positius van cap a avall i els esforços negatius s'ubiquen en la part superior.

Usant eixos rectangulars, a on l'eix horisontal representa la tensió normal $\left(\sigma \right)$ i l'eix vertical representa la tensió tallant o tangencial $\left(\tau \right)$ per a cada u dels plans anteriors. Els valors de la circumferència queden representats de la següent manera:

Centre del círcul de Mohr:

Ràdio de la circumferència de Mohr:

Les tensions màxima i mínima vénen daus en térmens d'eixes magnituts simplement per:

Estos valors es poden obtindre també calculant els valors propis del tensor tensió que en este cas ve dau per:

Tensors esfèrics i desviadores

Tensor Esfèric

Donen lloc a canvis de volum pero mai de forma, és dir, el seu sentit físic és el de forces de distintes direccions convergents cap a un mateix punt, com per eixemple la pressió que eixercix l'aigua a un objecte que es troba en les profunditats, la pressió fa que el sistema es colapse feya l'interior.

Tensor Desviador Donen lloc a canvis de forma pero no de volum. En alguns tipos de plasticidad la superfície de fluencia es calcula a partir del tensor desviador; no del tensor complet.

Circumferència de Mohr per a moments d'inèrcia

Per a sòlits plans i casi-plans, pot aplicar-se la mateixa tècnica de la circumferència de Mohr que es va usar per a tensions en dos dimensions. En moltes ocasions és necessari calcular el moment d'inèrcia al voltant d'un eix que es troba inclinat, la circumferència de Mohr pot ser utilisat per a obtindre este valor. També és possible obtindre els moments d'inèrcia principals. En este cas les fòrmules de càlcul del moment d'inèrcia mig i el radi de la circumferència de Mohr per a moments d'inèrcia són anàlogues a les del càlcul d'esforços:

Centre de la circumferència:

Ràdio de la circumferència: