Cadena de Cunningham

En matemàtiques, una cadena de Cunningham és una successió de número primo (p₁,...,p_n) en la qual es complix:

que cada terme és igual al doble de l'anterior més un (p_i+1 = 2 p_i + 1 para tot i en 1 &li; i < n), en el cas de la qual es denomina cadena de Cunningham de primera espècie;
o be que cada terme és igual al doble de l'anterior menys un (p_i+1 = 2 p_i - 1 para tot i en 1 &li; i < n), en el cas de la qual es denomina cadena de Cunningham de segona espècie.

Es denominen aixina en honor al matemàtic A. J. C. Cunningham.

En una cadena de Cunningham de primera espècie, tots els térmens menys l'últim són primers de Sophie Germain, i tots menys el primer són número primo segurs.

Una cadena de Cunningham es diu completa si no es pot estendre més allà, és dir, si el terme següent i l'anterior ya no són número primo.

A voltes el concepte de cadena de Cunningham s'estén a les anomenades cadenes generalisades de Cunningham, que es definixen com a successions d'número primo (p₁,...,p_n) tals que para tot i en 1 &li; i < n, p_i+1 = ap_i + b per a dos sancers coprimos donats a i b.

Cadenes de Cunningham més llargues

Una conseqüència de la conjectura de Dickson i la més general hipòtesis H de Schinzel (abdós supostes certes) és que para tot k existixen infinites cadenes de Cunningham de llongitut k (és dir, en k térmens). No obstant, no es coneixen métodos directes per a generar dites cadenes.

A data de juliol de 2008, la cadena de Cunningham més llarga que es coneix és de segona espècie, de llongitut 17 i el seu primer terme és 1302312696655394336638441. La cadena de Cunningham més llarga que es coneix de primera espècie té llongitut 13 i el seu primer terme és 1753286498051×71# − 1, a on 71# és el primorial de 71: 2×3×5×7×...×71.

Propietats derivades de les congruència

Cadenes de Cunningham de primera espècie

Siga $p_{1}$ un número primo distint de 2 que és el primer terme d'una cadena de Cunningham de primera espècie. El primer terme és impar, és dir, $p_{1} \equiv 1 (\mod 2)$ . Com cada u dels següents térmens de la successió complix $p_{i + 1} = 2 p_{i} + 1$ , es té que $p_{i} \equiv 2^{i} - 1 (\mod 2^{i})$ . Aixina, $p_{2} \equiv 3 (\mod 4)$ , $p_{3} \equiv 7 (\mod 8)$ , etc.

Esta propietat es pot comprovar de manera informal si es consideren els térmens d'una cadena en base 2. (Note's que, com ocorre en qualsevol base, si es multiplica un número per la base del sistema de numeració amprat per a la seua representació, les sifres es desplacen un lloc a l'esquerra.) Si es considera $p_{i + 1} = 2 p_{i} + 1$ en base 2, es pot vore que, en multiplicar $p_{i}$ per 2, la sifra menys significativa de $p_{i}$ pansa a ser la segona sifra menys significativa de $p_{i + 1}$ . Com $p_{i}$ és impar, és dir, la sifra menys significativa és 1 en base 2, se seguix que la segona sifra menys significativa de $p_{i + 1}$ també és 1. Ademés, $p_{i + 1}$ també és impar perque se li afig 1 a $2 p_{i}$ . D'esta manera, els successius térmens d'una cadena de Cunningham de primera espècie són el resultat de desplaçar l'anterior un lloc a l'esquerra en binario i posar un un com a última sifra. He ací, a modo d'eixemple, una cadena completa de llongitut 6 que escomença en el número 141361469:

Binario	Decimal
1000011011010000000100111101	141361469
10000110110100000001001111011	282722939
100001101101000000010011110111	565445879
1000011011010000000100111101111	1130891759
10000110110100000001001111011111	2261783519
100001101101000000010011110111111	4523567039

En base decimal, es té que els térmens d'una cadena completa de Cunningham de primera espècie de llongitut major o igual que 4 acaben tots en 9 (en llenguage matemàtic, $p_{i} \equiv 9 (\mod 10)$ per a cada i) exceptuant el cas $p_{i} = 2$ . Açò es pot considerar fàcilment comprovant els térmens següents d'un dau acabat en 1, 3, 7 o 9, i considerant que un número entero acabat en 5, exceptuant el propi 5, deu ser compost:

p0≡5(mod10) -> p1≡1(mod10) -> p2≡3(mod10) p3≡7(mod10) p4≡5(mod10). p0 i p4 acaben en 5, per tant, en general no poden ser primers, i la conseqüència és que:
- una cadena en $p_{1} \equiv 1 (\mod 10)$ té llongitut com a molt 3
- una cadena en $p_{1} \equiv 3 (\mod 10)$ té llongitut 2
- no existixen cadenes de Cunningham el primer terme de les quals siga de la forma $p_{1} \equiv 7 (\mod 10)$
$p_{1} \equiv 9 (\mod 10)$ -> $p_{2} \equiv 9 (\mod 10)$ , per tant, tots els següents térmens acabaran en 9.

Cadenes de Cunningham de segona espècie

Les propietats d'estes cadenes són anàlogues a les de la primera espècie. Sabent que $p_{1} \equiv 1 (\mod 2)$ , aixina com la relació $p_{i + 1} = 2 p_{i} - 1$ , se seguix que $p_{i} \equiv 1 (\mod 2^{i})$ . En notació binaria, els térmens d'una cadena de Cunningham de la segona espècie acabaran en "0...01", i cada terme tindrà un zero més que l'anterior abans de l'un. I en notació binaria es pot demostrar análogamente que els térmens de les cadenes de llongitut 4 o més acaben tots en 1.

Solament el 2 i el 3 pertanyen a cadenes de Cunningham de primera i segona espècie

Les propietats descrites anteriorment es poden generalisar per a atres bases de numeració. En particular, es pot demostrar que un mateix número no pot formar part al mateix temps d'una cadena de Cunningham de la primera espècie d'una de la segona espècie, en l'excepció del 2 i el 3, si es considera la representació dels números en base 6. En esta base, els número primo solament poden acabar en 1 o 5, ya que, en els demés casos s'obté un múltiple de 2 o 3. És fàcil vore que els térmens d'una cadena de Cunningham de primera espècie acaben en 5 en l'única salvetat del 2 i el 3, i els térmens d'una cadena de segona espècie acaben en 1 en les mateixes salvetat.

Estes són les excepcions:

El 2 és el primer element d'una cadena de primera espècie de 5 elements (2, 5, 11, 23 i 47) i el primer d'una cadena de segona espècie de 3 elements (2, 3, 5).
El 3 és el primer element d'una cadena de primera espècie de 2 elements (3 i 7) i el segon d'una cadena de segona espècie de 3 elements (2, 3, 5).

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cadena de Cunningham» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.