Choc inelástico

Un choc inelástico (també, colisió inelástica) és un tipo de choc en el que l'energia cinètica no es conserva. Com a conseqüència, els cossos que colisionen poden sofrir deformacions i un aument del seu temperatura. En el cas ideal d'un choc perfectament inelástico entre objectes macroscòpics, estos permaneixen units entre sí despuix de la colisió. El marc de referència del centre de masses permet presentar una definició més precisa.

En un choc inelástico les forces internes fan treball, per lo que l'energia cinètica del sistema ya no permaneix constant, encara que el moment llineal seguix conservant-se. Si el treball de les forces internes és negatiu, l'energia cinètica del sistema disminuirà durant la colisió.

La principal característica d'este tipo de choc és que existix un malbarat d'energia, ya que tant el treball realisat durant la deformació dels cossos com l'aument del seu energia interna s'obté a costa de l'energia cinètica dels mateixos abans del choc. En qualsevol cas, encara que no es conserve l'energia cinètica, sí es conserva el moment llineal total del sistema.

En esta pàgina, es descriuen els chocs frontals de dos partícules en el Sistema de Referència del Laboratori (Sistema -L) i en el Sistema de Referència del Centre de Massa (Sistema–C).

Com a cas particular, es comprova la conservació del moment llineal en l'explosió d'un cos, que dona lloc a dos fragments que es mouen en la mateixa direcció pero en sentit contrari.

Chocs frontals inelásticos en una dimensió

Esta secció analisa el cas de dos partícules que colisionen i despuix se separen seguint la mateixa direcció pero en sentits oposts. Per a este sistema es pot fer una descripció senzilla si s'usa com sistema de referència el sistema de referència "laboratori", que es considera un sistema inercial. en este sistema la conservació del moment llineal du a:

a on:

u_{i}

, velocitats inicials (abans del choc)

v_{i}

, velocitat despuix del choc.

A continuació s'introduïx el coeficient de restitució definit per:

Rebujant les velocitats despuix del choque v₁ i v₂ es té:

Si el choc és perfectament inelástico (despuix del choc els cossos queden completament pegats; o siga, formen un sol bloc), el coeficient i = 0, llavors:

v_{1} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

v_{2} = \frac{m_{2} u_{2} + m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

D'a on s'observa que les dos velocitats es convertixen en una sola, com era d'esperar, puix la velocitat final despuix del choc és la velocitat del conjunt dels dos cossos que queden units.

Tenint en conte que la velocitat del centre de masses és

V_{(c m)} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

Es pot escriure les expressions de la velocitat de les partícules despuix del choque v₁ i v₂ de forma més simplificada i fàcil de recordar.

v_{1} = (1 + e) V_{(c m)} - e . u_{1}

v_{2} = (1 + e) V_{(c m)} - e . u_{2}

Si la segona partícula està en repòs abans del choc, o₂=0, les velocitats despuix del choque v₁ i v₂ seran:

v_{1} = \frac{(m_{1} - m_{2} e) u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

v_{2} = \frac{m_{1} (1 + e) u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

Descripció des d'un Sistema de Referència fix al Centre de Massa

Velocitat de les partícules respecte del Sistema-C abans del choc

u_{1 (c m)} = u_{1} - V_{(c m)} = \frac{(u_{1} - u_{2}) m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

u_{2 (c m)} = u_{2} - V_{(c m)} = \frac{- (u_{1} - u_{2}) m_{1}}{m_{1} + m_{2}}

Velocitat de les partícules respecte del Sistema-C despuix del choc

v_{1 (c m)} = v_{1} - V_{(c m)} = \frac{- (u_{1} - u_{2}) m_{2} e}{m_{1} + m_{2}}

v_{2 (c m)} = v_{2} - V_{(c m)} = \frac{(u_{1} - u_{2}) m_{1} e}{m_{1} + m_{2}}

v_{1 (c m)} = - e . u_{1 (c m)}

v_{2 (c m)} = - e . u_{2 (c m)}

La velocitat d'abdós objectes despuix del choc en el Sistema-C es reduïxen en un factor i.

Comprovem també que es complix el principi de conservació del moment llineal en el Sistema-C

m_{1} . u_{1 (c m)} + m_{2} . u_{2 (c m)} = 0

m_{1} . v_{1 (c m)} + m_{2} . v_{2 (c m)} = 0

Choc perfectament inelástico

D'un choc es diu que és "perfectament inelástico" (o "totalment inelástico") quan dissipa tota l'energia cinètica disponible, és dir, quan el coeficient de restitució $ϵ$ val zero. En tal cas, els cossos permaneixen units despuix del choc, movent-se solidàriament (en la mateixa velocitat).

L'energia cinètica disponible correspon a la que posseïxen els cossos respecte al sistema de referència de la seua centre de masses. Abans de la colisió, la major part d'esta energia correspon al objeto de menor massa. Despuix de la colisió, els objectes permaneixen en repòs respecte al centre de masses del sistema de partícules. La disminució d'energia es correspon en un aument en una atra(s) forma(s) d'energia, de tal forma que el primer principi de la termodinàmica es complix en tot cas.

Cas unidimensional

Animació d'un choc perfectament inelástico entre dos masses iguals

En una dimensió, si cridem $u_{1}$ i $u_{2}$ a les velocitats inicials de les partícules de masses $m_{1}$ i $m_{2}$ , respectivament, llavors per la conservació del moment llineal tenim:

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}

i per tant la velocitat final $v_{f}$ del conjunt és:

v_{f} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

Per al cas general d'una colisió perfectament inelástica en dos o tres dimensions, la fòrmula anterior seguix sent vàlida per a cada una de les components del vector velocitat.

Chocs frontals unidimensionals

L'energia perduda en la colisió Q la podem trobar com la diferència de les energies cinètiques despuix del choc i abans del choc en el Sistema-L.

$Q = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} - m_{1} u_{1}^{2} - m_{2} u_{2}^{2})$

Pero és molt més fàcil calcular esta diferència en el Sistema-C.

$Q = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (- (1 - e^{2}) (u_{1} - u_{2})^{2} m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2}))$

Raó d'energies cinètiques despuix del choc

$E k f / E k i = \begin{matrix} \end{matrix} \frac{(1 / 2) (m_{1} + m_{2}) ((m_{1} / (m_{1} + m_{2})) u_{1})^{2}}{(1 / 2) (m_{1}) (u_{1}^{2})}$

$E k f / E k i = \begin{matrix} \end{matrix} \frac{m_{1}}{(m_{1} + m_{2})}$

Fracció de l'energia cinètica perduda

La raó entre l'energia cinètica perduda i l'energia cinètica inicial ve donada per:^{cita requerida}

Eixemple: Considere's el cas de dos partícules que choquen en llínea recta i despuix se separen seguint la mateixa direcció pero en sentits oposts. La primera partícula en massa $m_{1} = 1$ i velocitat $u_{1} = 2$ , mentres que la segona partícula té una massa major i està en repòs $m_{2} = 2$ i $u_{2} = 0$ . El coeficient de restitució és $e = 0, 90$ (choc no totalment inelástico)

Principi de conservació del moment llineal

1·2+2·0=1·v1+2·v2

Definició de coeficient de restitució

-0.9(2-0)=v1-v2

Resolent el sistema de dos equacions en dos incògnites obtenim

v1=-0.53, v2=1.27 m/s

Energia perduda en la colisió (Sistema-L)

$Q = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (1 (0, 53)^{2} + 2 (1, 27)^{2} - 1. 2^{2})$ = -0,253 J

Calculada per mig de la fòrmula (Sistema-C)

$Q = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (- (1 - 0, 9^{2}) (2 - 0)^{2} (1) . (2) / (1 + 2))$ = -0,253 J

Deduccions per a chocs frontals elàstics unidimensionals

Podem obtindre de forma alternativa, les velocitats v1 i v2 despuix del choc per a un choc elàstic amprant la conservació del moment llineal i de l'energia cinètica.

Principi de conservació del moment llineal

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

En un choc elàstic, l'energia cinètica inicial és igual a la final, Q=0.

\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}

Daus o1 i o2, les velocitats de les partícules m1 i m2 abans del choc, podem calcular les velocitats de les partícules v1 i v2 despuix del choc resolent el sistema de dos equacions en dos incògnites.

Les velocitats de les partícules despuix del choque v1 i v2 seran:

v_{1} = \frac{(m_{1} - m_{2}) u_{1} + 2 m_{2} . u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

v_{2} = \frac{(m_{2} - m_{1}) u_{2} + 2 m_{1} . u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

Són les mateixes equacions que hem obtingut prèviament en el coeficient de restitució i=1.

Prenent en conte la fòrmula que dona la velocitat del centre de masses podem escriure les expressions de les velocitats de les partícules despuix del choc, v1 i v2, de forma més simplificada i fàcils de recordar.

v1=2V(cm)-o1 v2=2V(cm)-o2

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Choque inelástico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.