Coalició (teoria de jocs)

En teoria de jocs, més específicament en jocs cooperatius, una coalició és un grup de jugadors que pot prendre decisions conjuntes per a favorir-se entre tots com a sistema en un joc en particular.

Formalment, donat un conjunt de N jugadors, una coalició és qualsevol S ⊆ N. Es diu gran coalició a la coalició S=N, i coalició nula al conjunt buit S=Ø.

Coalicions en jocs simples

Un joc simple es definix com un joc cooperatiu en que les coalicions solament poden assumir valors binarios, que representen un guany (en el cas del qual es denomina coalició guanyadora) o be una pèrdua (coalició perdedora) absoluta. Ademés, els jocs simples complixen en la propietat de monotonia, per lo que qualsevol superconjunto d'una coalició guanyadora serà també una coalició guanyadora, i qualsevol subconjunt d'una coalició perdedora serà també perdedora.

Aixina, un joc simple es pot representar com un parell (N,W), a on W⊆P(N) (en P(N) el conjunt potencia de N) és el conjunt de coalicions guanyadores. Note que N∈W, i usualment s'assumix que Ø∉W. La propietat de monotonia es descriu matemàticament com: si S∈W i S⊆R⊆N, llavors R∈W.

Análogamente, un joc simple es pot representar també com un parell (N,L), a on L=P(N)W és el conjunt de coalicions perdedores. Note que W i L formen una partició sobre el conjunt P(N).

Ademés, per la propietat de monotonia, un joc simple es pot representar com un parell (N,W^m) o (N,L^M), a on:

• W^m és el conjunt de coalicions guanyadores minimales, és dir, aquelles coalicions guanyadores tals que llevant-los qualsevol jugador passen a ser perdedores.
• L^M és el conjunt de coalicions perdedores minimales, és dir, aquelles coalicions perdedores tals que llevant-los qualsevol jugador passen a ser guanyadores.

Referències

• Taylor (1999). Simple games: Desirability relations, trading, pseudoweightings, New Jersey: Princeton University Press.