Conjunt de Julia

Archiu:Julia set, plotted with Matplotlib.svg

Conjunt de Julia

Els conjunts de Julia, aixina cridats pel matemàtic Gaston Julia, són una família de conjunts fractalés que s'obtenen en estudiar el comportament dels número complejo en ser iterados per una funció holomorfa.

El conjunt de Julia d'una funció holomorfa $f$ està constituït per aquells punts que baix la iteración de $f$ tenen un comportament 'caòtic'. El conjunt es denota $J(f)$.

En l'atre extrem es troba el conjunt de Fatou (en honor del matemàtic Pierre Fatou), que consistix dels punts que tenen un comportament 'estable' en ser iterados. El conjunt de Fatou d'una funció holomorfa $f$ es denota $F(f)$ i és el complement de $J(f)$.

Polinomis quadràtics

Una família molt notable de conjunts de Julia s'obtenen a partir de funcions quadràtiques simples: $f_c(z)=z^2+c$, a on $c$ és un número complejo. El conjunt de Julia que s'obté a partir d'esta funció es denota $J_c$.

Un algoritme per a obtindre el conjunt de Julia de $f_c(z)=z^2+c$ és el següent:

Per a tot complex $z$ es construïx per la següent successió:

$z_0=z$

$z_{n+1}=z_n^2+c$

Si esta successió queda acotada, llavors es diu que $z$ pertany al conjunt de Julia de paràmetro $c$, denotat per $J_c$; de lo contrari, $z$ queda exclós d'este.

En les imàgens anteriors, els punts negres pertanyen al conjunt i els de color no. Els colors donen una indicació de la velocitat en la que divergix la successió (el seu mòdul tendix a infinit): en roig obscur, a la veta de pocs càlculs se sap que el punt no està en el conjunt; i en blanc, s'ha tardat molt més en comprovar-ho. Com no es poden calcular infinits valors, cal posar un llímit, i decidir que si els $n$ primers térmens de la successió estan acotats, el punt pertany al conjunt. En aumentar el valor de $n$ es millora la precisió de l'image.

Archiu:Julia set (reversed formula 3D).jpg

Conjunt de Julia en 3D.

Es pot demostrar que si $|z_n|>2$ llavors la successió divergix i el punt $z$ no pertany al conjunt de Julia. Per lo tant, basta trobar un sol terme de la successió que verifique $|z_n|>2$ per a tindre la certea de que $z$ no està en el conjunt.

Existix una relació molt forta entre els conjunts de Julia i el conjunt de Mandelbrot denotat per $M$, per la similitut de les seues definicions:

Es diu que $c$ pertany a $M$ si i solament si $J_c$ és conexo.

Els resultats més vistosos s'obtenen en prendre el paràmetro $c$ en la frontera de $M$, puix si $c$ esta en l'interior de $M$ resulta que $J_c$ pren l'aspecte d'un objecte redó, poc fractal, i solament la vora té l'apariència de fractal. Per eixemple si $c=0$ resulta que el conjunt de Julia és la circumferència unitària, en centre en l'orige de coordenades.

En les imàgens, s'han pres com a valors de c: -1,3 + 0,00525·i; -0,72 – 0,196·i; -0,1 + 0,87·i i -0,51 – 0,601·i, per raons estètiques.

Es poden generalisar estos conjunts prenent atres relacions d'inducció: $z_{n+1}=f(z_n)$ en qualsevol funció complexa $f$. Es pot també generalisar a qualsevol dimensió, i amprar vàries funcions en lloc d'una sola.

Eixemples de Conjunts de Julia

• f(z) = z2 + 0.279
  f(z) = z² + 0.279
• f(z) = z3 + 0.400
  f(z) = z³ + 0.400
• f(z) = z4 + 0.484
  f(z) = z⁴ + 0.484
• f(z) = z5 + 0.544
  f(z) = z⁵ + 0.544
• f(z) = z6 + 0.590
  f(z) = z⁶ + 0.590
• f(z) = z7 + 0.626
  f(z) = z⁷ + 0.626
• f(z) = exp(z) - 0.65
  f(z) = exp(z) - 0.65
• f(z) = exp(z3) - 0.59
  f(z) = exp(z³) - 0.59
• f(z) = exp(z3) - 0.621 Zoom x9
  f(z) = exp(z³) - 0.621
  Zoom x9
• f(z) = z * exp(z) + 0.04
  f(z) = z * exp(z) + 0.04
• f(z) = z2 * exp(z) + 0.21
  f(z) = z² * exp(z) + 0.21
• f(z) = z3 * exp(z) + 0.33
  f(z) = z³ * exp(z) + 0.33
• f(z) = z4 * exp(Z) + 0.41
  f(z) = z⁴ * exp(Z) + 0.41
• f(z) = Sqr[Sinh(z2)] + (0.065,0.122i)
  f(z) = Sqr[Sinh(z²)] + (0.065,0.122i)
• f(z) = [(z2+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)
  f(z) = [(z²+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)
• f(z) = Cosh(Z) +(-0.45,0.00i)
  f(z) = Cosh(Z) +(-0.45,0.00i)
• f(z) = Sense(Z) +(4.0,0.88i)
  f(z) = Sense(Z) +(4.0,0.88i)