Constant de Conway

Archiu:Conway constant.png

Solucions del polinomi de Conway en el pla complex.

La constant de Conway és una constant matemàtica relacionada en la seqüència mira-i-vaig donar, una successió matemàtica en la que cada nou número es genera llegint en veu alta la cantitat de dígits iguals consecutius del número anterior. La constant de Conway és la taxa de creiximent del número de sifres de la successió mira-i-vaig donar, també coneguda com a desintegració audioactiva (en anglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira i vaig donar"). Per eixemple, si $x_0=1$ ("un u"), els següents térmens seran:

$x_1=11$ ("dos uns --> 21")

$x_2=21$ ("un dos, un u --> 1211")

$x_3=1211$ ("un un, un dos, dos uns --> 111221")

$x_4=111221$ ("tres uns, dos doses, un u --> 312211")

$x_5=312211$ ("un tres, un un, dos doses, dos uns --> 13112221")

.

El procés és similar a l'empleat en el sistema de compressió Run-length encoding.

Independentment del terme inicial $x_o$ elegit (en l'única salvetat del 22), la successió divergix i la raó entre el número de sifres de $x_n$ i $x_{n-1}$ tendix a un valor fix que és la constant de Conway, $\lambda \approx 1,303577269$. Esta constant és un número irracional algebraic, i de fet és l'única solució real positiva de la següent equació polinòmica de grau 71:

$x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+$

$2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-$

$7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-$

$3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-$

$7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-$

$2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0$

En prendre 22 ("dos doses") com a terme inicial, la successió és degenerada perque tots els térmens següents tornaran a ser 22.

«Desintegració audioactiva»

John Conway va calificar esta successió de «desintegració audioactiva» (audioactive decay), un joc de paraules sobre la desintegració radiactiva, posant émfasis en el comportament dels térmens de la successió. Conway va mostrar que, a partir d'un determinat punt, casi tots els térmens de la successió poden descompondre's en 92 subtérminos, als que va cridar elements, per analogia en els elements químics. Estos elements funcionen com a entitats independents, no interactuen en els demés dígits del terme i es descomponen en un atre o atres elements en el següent terme de la successió.

Per eixemple, l'element més simple, cridat hidrogen, és la seqüència estable $22$. El manganeso, $3113322112$, dona lloc a $132123222112$, que a la seua volta es descompon en els elements prometio ($132$) i sodi ($123222112$).

La llista d'elements està confeccionada de tal manera que, escomençant per l'últim element, l'urani ($3$), cada u dels elements anteriors fa la seua aparició a lo llarc de successives iteraciones fins a aplegar al primer, l'hidrogen, a la veta de 91 iteraciones.

Z	Element	Prové de	Es descompon en	Desenroll	Llongitut
1	Hidrogen	7 elements: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta	1 element: H (estable)	22	2
2	Heli	1 element: Li	5 elements: Hf, Pa, H, Ca, Li	13112221133211322112211213322112	32
3	Liti	2 elements: He, Be	1 element: He	312211322212221121123222112	27
4	Berili	1 element: B	3 elements: Ge, Ca, Li	111312211312113221133211322112211213322112	42
5	Bor	1 element: C	1 element: Be	1321132122211322212221121123222112	34
6	Carbono	1 element: N	1 element: B	3113112211322112211213322112	28
7	Nitrogen	1 element: O	1 element: C	111312212221121123222112	24
8	Oxigen	1 element: F	1 element: N	132112211213322112	18
9	Flúor	1 element: Ne	1 element: O	31121123222112	14
10	Neó	1 element: Na	1 element: F	111213322112	12
11	Sodi	2 elements: Mg, As	1 element: Ne	123222112	9
12	Magnesi	1 element: A el	2 elements: Pm, Na	3113322112	10
13	Alumini	1 element: Si	1 element: Mg	1113222112	10
14	Silici	2 elements: P, Mn	1 element: A el	1322112	7
15	Fòsfor	1 element: S	2 elements: Ho, Si	311311222112	12
16	Sofre	1 element: Cl	1 element: P	1113122112	10
17	Clor	1 element: Ar	1 element: S	132112	6
18	Argón	1 element: K	1 element: Cl	3112	4
19	Potassi	1 element: Ca	1 element: Ar	1112	4
20	Calcio	13 elements: He, Be, Sc, Ga (2 voltes), Zr, Ru, Et, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re	1 element: K	12	2
21	Escandio	1 element: Tu	5 elements: Ho, Pa, H, Ca, Co	3113112221133112	16
22	Titani	1 element: V	1 element: Sc	11131221131112	14
23	Vanadi	1 element: Cr	1 element: Tu	13211312	8
24	Cromo	1 element: Mn	1 element: V	31132	5
25	Manganeso	1 element: Fe	2 elements: Cr, Si	111311222112	12
26	Ferro	1 element: Co	1 element: Mn	13122112	8
27	Cobalt	5 elements: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd	1 element: Fe	32112	5
28	Níquel	1 element: Cu	2 elements: Zn, Co	11133112	8
29	Coure	1 element: Zn	1 element: Ni	131112	6
30	Zinc	3 elements: Ni, Ga, Sm	1 element: Cu	312	3
31	Gali	1 element: Ge	6 elements: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn	13221133122211332	17
32	Germani	3 elements: Be, As, Re	2 elements: Ho, Ga	31131122211311122113222	23
33	Arsènic	1 element: Es	2 elements: Ge, Na	11131221131211322113322112	26
34	Seleni	1 element: Br	1 element: As	13211321222113222112	20
35	Bromo	1 element: Kr	1 element: Es	3113112211322112	16
36	Kriptón	1 element: Rb	1 element: Br	11131221222112	14
37	Rubidi	1 element: Sr	1 element: Kr	1321122112	10
38	Estronci	1 element: I	1 element: Rb	3112112	7
39	Itri	1 element: Zr	2 elements: Sr, O	1112133	7
40	Zirconio	1 element: Nb	4 elements: I, H, Ca, Tc	12322211331222113112211	23
41	Niobi	1 element: Mo	2 elements: Er, Zr	11131221133221131112211312221	29
42	Molibdeno	1 element: Tc	1 element: Nb	13211322211312113211	20
43	Tecnecio	2 elements: Zr, Ru	1 element: Mo	311322113212221	15
44	Ruteni	1 element: Rh	3 elements: Eu, Ca, Tc	132211331222113112211	21
45	Rodio	1 element: Pd	2 elements: Ho, Ru	311311222113111221131221	24
46	Paladi	1 element: Ag	1 element: Rh	111312211312113211	18
47	Argent	1 element: Cd	1 element: Pd	132113212221	12
48	Cadmi	1 element: In	1 element: Ag	3113112211	10
49	Indi	1 element: Sn	1 element: Cd	11131221	8
50	Estany	1 element: Sb	1 element: In	13211	5
51	Antimoni	1 element: Et	2 elements: Pm, Sn	3112221	7
52	Telur	1 element: I	3 elements: Eu, Ca, Sb	1322113312211	13
53	Yodo	1 element: Xe	2 elements: Ho, Et	311311222113111221	18
54	Xenón	1 element: Cs	1 element: I	11131221131211	14
55	Cesi	1 element: Ba	1 element: Xe	13211321	8
56	Bari	1 element: La	1 element: Cs	311311	6
57	Lantano	1 element: Ce	1 element: Ba	11131	5
58	Ceri	1 element: Pr	4 elements: La, H, Ca, Co	1321133112	10
59	Praseodimi	1 element: Nd	1 element: Ce	31131112	8
60	Neodimi	1 element: Pm	1 element: Pr	111312	6
61	Prometio	5 elements: Mg, Sb, Sm, Er, Bi	1 element: Nd	132	3
62	Samari	1 element: Eu	3 elements: Pm, Ca, Zn	311332	6
63	Europi	4 elements: Ga, Ru, Et, Gd	1 element: Sm	1113222	7
64	Gadolini	1 element: Tb	3 elements: Eu, Ca, Co	13221133112	11
65	Terbi	1 element: Dy	2 elements: Ho, Gd	3113112221131112	16
66	Disprosio	1 element: Ho	1 element: Tb	111312211312	12
67	Holmi	8 elements: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn	1 element: Dy	1321132	7
68	Erbi	2 elements: Nb, Tm	2 elements: Ho, Pm	311311222	9
69	Tuli	1 element: Yb	3 elements: Er, Ca, Co	11131221133112	14
70	Ytterbio	1 element: Lu	1 element: Tm	1321131112	10
71	Luteci	1 element: Hf	1 element: Yb	311312	6
72	Hafni	2 elements: He, Ta	1 element: Lu	11132	5
73	Tàntal	1 element: W	5 elements: Hf, Pa, H, Ca, W	13112221133211322112211213322113	32
74	Wolframio	2 elements: Ta, Re	1 element: Ta	312211322212221121123222113	27
75	Reni	1 element: Vos	3 elements: Ge, Ca, W	111312211312113221133211322112211213322113	42
76	Osmi	1 element: Anar	1 element: Re	1321132122211322212221121123222113	34
77	Iridi	1 element: Pt	1 element: Vos	3113112211322112211213322113	28
78	Platí	1 element: Au	1 element: Anar	111312212221121123222113	24
79	Or	1 element: Hg	1 element: Pt	132112211213322113	18
80	Mercuri	1 element: Tl	1 element: Au	31121123222113	14
81	Talio	1 element: Pb	1 element: Hg	111213322113	12
82	Plom	1 element: Bi	1 element: Tl	123222113	9
83	Bismut	1 element: Po	2 elements: Pm, Pb	3113322113	10
84	Poloni	1 element: At	1 element: Bi	1113222113	10
85	Ástato	1 element: Rn	1 element: Po	1322113	7
86	Radón	1 element: Fr	2 elements: Ho, At	311311222113	12
87	Francio	1 element: Ra	1 element: Rn	1113122113	10
88	Radi	1 element: Ac	1 element: Fr	132113	6
89	Actini	2 elements: Ga, Th	1 element: Ra	3113	4
90	Tori	1 element: Pa	1 element: Ac	1113	4
91	Protactinio	4 elements: He, Sc, Ta, O	1 element: Th	13	2
92	Urani	1 element: I	1 element: Pa	3	1