Constant dels inversos de Fibonacci

La constant dels inversos de Fibonacci, o ψ, es definix com la suma dels recíprocs dels números de Fibonacci:

$\psi =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{13}+\cdots .$

La raó entre dos térmens consecutius d'esta suma tendix a l'invers del número áureo. Com este número és menor que 1, el criteri de d'Alembert establix que la suma convergix.

Se sap que ψ és aproximadament igual a

$\psi \approx 3.359885666243177553172011302918927179688905133731\dots .$

No es coneix una fòrmula tancada que done el valor de ψ, pero Gosper descriu un algoritme per a obtindre una aproximació ràpida del seu valor. ψ és irracional. Esta propietat va ser conjeturada per Paul Erdős, Ronald Graham i Leonard Carlitz, i comprovada en 1989 per Richard André-Jeannin.

La representació d'esta constant en fracció contínua és:

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\cdots ].$