Convergència de Grómov-Hausdorff
En matemàtiques, la convergència de Grómov-Hausdorff, nomenada per Mijaíl Grómov i Felix Hausdorff, és una noció de convergència en espais mètrics que generalisa la convergència de Hausdorff.
Distància de Grómov-Hausdorff
[editar | editar còdic]
La distància de Grómov-Hausdorff va ser introduïda per David Edwards en 1975,[1][2] i redescubierta i generalisada per Mijaíl Grómov en 1981.[3][4] Esta distància medix cóm de llunt estan dos espais mètrics compactes de ser isomètrics. Si X i I són dos espais mètrics compactes, llavors dGH (X, I) es definix com l'ínfim de les cantitats dH(f(X), g(I)) para tots els espais mètrics M i tots els embebimientos isomètrics f: X→M i g: I→M. Ací, dH denota la distància de Hausdorff entre subconjunts de M i el embebimiento isomètric s'entén en sentit global, açò és, deu preservar totes les distàncies, no solament les infinitesimalment menudes. Per eixemple, cap varietat de Riemann no compacta admet un embebimiento d'este tipo en un espai euclídeo de la mateixa dimensió.
La distància de Grómov-Hausdorff convertix al conjunt de totes les classes d'isometría d'espais mètrics compactes en un espai mètric, cridat espai de Grómov-Hausdorff, i per tant definix una noció de convergència de successions d'espais mètrics compactes, cridada convergència de Grómov-Hausdorff. Un espai mètric en el que convergix una d'estes successions es diu el llímit de Grómov-Hausdorff de la successió.
Algunes propietats de l'espai de Grómov-Hausdorff
[editar | editar còdic]L'espai de Grómov-Hausdorff és conexo per camins, complet i separable.[5] També és geodèsic, açò és, cada parell de punts són els extrems d'una geodèsica minimizante.[6] En el sentit global, l'espai de Grómov-Hausdorff és totalment heterogéneu, açò és, el seu grup d'isometría és trivial,[7] pero localment existixen moltes isometría no trivials.[8]
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ David A. Edwards, "The Structure of Superspace", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975, pdf
- Archivat el 4 de març de 2016 archivat en Wayback Machine.
- ↑ A. Tuzhilin, "Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? (2016)", arXiv:1612.00728, pdf
- ↑ M. Gromov. "Structures métriques pour els variétés riemanniennes", editat per Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
- ↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.
- ↑ D.Burago, Yu.Burago, S.Ivanov, A Course in Metric Geometry, AMS GSM 33, 2001.
- ↑ A.Ivanov, N.Nikolaeva, A.Tuzhilin (2015), The Gromov-Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic, arXiv:1504.03830.
- ↑ A.Ivanov, A.Tuzhilin (2018), Isometry Group of Gromov-Hausdorff Space, arXiv:1806.02100
- ↑ A.Ivanov, A.Tuzhilin (2016), Local Structure of Gromov-Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position, arXiv:1611.04484
- M. Gromov. Metric structures for Riemannian and senar-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Convergencia de Grómov-Hausdorff» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.