Coordenades d'acció-àngul

En mecànica clàssica, les coordenades d'acció-àngul són un conjunt de coordenades canòniques útils en la resolució de molts sistemes hamiltonianos integrables. El método d'accions-ànguls és útil per a obtindre les freqüències de moviments oscilatoris o rotacionales sense necessitat de resoldre les equacions del moviment. Les coordenades d'acció-àngul s'utilisen principalment quan les equacions d'Hamilton-Jacobi són completament separables (per tant, el hamiltoniano no depén explícitament del temps i per tant l'energia es conserva). Les variables d'acció-àngul definixen un bou invariante, cridat aixina perque mantindre l'acció constant definix la superfície d'un bou, en les variables d'àngul parametrizando les coordenades del bou.

Les condicions de cuantización de Bohr-Sommerfeld, usades per a desenrollar la mecànica quàntica abans del desenroll de la mecànica ondulatoria, afirmen que l'acció deu ser un múltiple sancer de la constant de Planck. De forma similar, el treball d'Einstein en la cuantización EBK i la dificultat per a cuantizar sistemes no integrables s'expressa en térmens dels bous invariantes de les coordenades d'acció-àngul.

Les coordenades d'acció-àngul són també útils en teoria de destorbament en mecànica hamiltoniana, especialment per a determinar invariantes adiabàtics. Un dels primers resultats de teoria del caos per als destorbament no llineals de sistemes dinàmics en pocs graus de llibertat és el teorema KAM, que afirma que els bous invariantes són estables baix destorbament menuts.

L'us de variables d'acció-àngul va ser fonamental en la resolució de la ret de Tota i en la definició dels parells de Lax o, de forma més general, en l'idea d'evolució isoespectral d'un sistema.

Derivació

Les variables d'acció-àngul resulten d'una transformació canònica de tipo 2 a on la funció generatriz és la funció característica d'Hamilton $W (𝐪)$ (no la funció principal d'Hamilton $S$ ). Ya que el hamiltoniano original no depén explícitament del temps, el nou hamiltoniano $K (𝐰, 𝐉)$ és simplement el hamiltoniano anterior $H (𝐪, 𝐩)$ expressat en térmens de les noves coordenades canòniques, que denotem $𝐰$ (les variables d'àngul, que són coordenades generalisades) i els seus nous moments generalisats $𝐉$ . No necessitarem resoldre la funció generatriz $W$ , simplement l'utilisem per a relacionar els dos conjunts de coordenades canòniques.

En lloc de definir directament les variables d'àngul $𝐰$ , definim els seus moments generalisats, que representen l'acció clàssica per a cada coordenada generalisada

J_{k} \equiv \oint p_{k} d q_{k}

a on el camí d'integració ve dau per la funció d'energia constant $E = E (q_{k}, p_{k})$ . Ya que el moviment real no intervé en l'integració, estos moments generalisats $J_{k}$ són constants del moviment, lo que implica que el hamiltoniano transformat $K$ no depén de les coordenades generalisades conjugades $w_{k}$

\frac{d}{d t} J_{k} = 0 = \frac{\partial K}{\partial w_{k}}

a on els $w_{k}$ vénen daus per l'equació habitual per a un transformació canònica de tipo 2,

w_{k} \equiv \frac{\partial W}{\partial J_{k}}

Aixina, el nou hamiltoniano $K = K (𝐉)$ depén únicament dels nous moments generalisats $𝐉$ .

La dinàmica de les variables d'àngul ve donada per les equacions d'Hamilton,

\frac{d}{d t} w_{k} = \frac{\partial K}{\partial J_{k}} \equiv ν_{k} (𝐉)

El costat dret és una constant del moviment (ya que tots els $J$ lo són). Per tant, la solució ve donada per

w_{k} = ν_{k} (𝐉) t + β_{k}

a on $β_{k}$ és una constant d'integració. En particular, si la coordenada generalisada original està subjecta a una oscilació o rotació de periodo $T$ , la variable d'àngul corresponent $w_{k}$ canvia com $Δ w_{k} = ν_{k} (𝐉) T$ .

Estos $ν_{k} (𝐉)$ són les freqüències d'oscilació/rotació per a les coordenades generalisades originals $q_{k}$ . Podem vore açò integrant el canvi net en la variable d'àngul $w_{k}$ a lo llarc d'exactament una rotació completa (una oscilació o una rotació) de les seues coordenades generalisades $q_{k}$

Δ w_{k} \equiv \oint \frac{\partial w_{k}}{\partial q_{k}} d q_{k} = \oint \frac{\partial^{2} W}{\partial J_{k} \partial q_{k}} d q_{k} = \frac{d}{d J_{k}} \oint \frac{\partial W}{\partial q_{k}} d q_{k} = \frac{d}{d J_{k}} \oint p_{k} d q_{k} = \frac{d J_{k}}{d J_{k}} = 1

Introduint estes expressions en la fòrmula de $Δ w_{k}$ obtenim l'equació desijada

ν_{k} (𝐉) = \frac{1}{T}

Les variables d'àngul $𝐰$ són un conjunt independent de coordenades generalisades. Aixina, en el cas general, cada coordenada generalisada $q_{k}$ pot expressar-se com una série de Fourier en tots els ànguls

q_{k} = \sum_{s_{1} = - \infty}^{\infty} \sum_{s_{2} = - \infty}^{\infty} \dots \sum_{s_{N} = - \infty}^{\infty} A_{s_{1}, s_{2}, \dots, s_{N}}^{k} e^{i 2 π s_{1} w_{1}} e^{i 2 π s_{2} w_{2}} \dots e^{i 2 π s_{N} w_{N}}

a on $A_{s_{1}, s_{2}, \dots, s_{N}}^{k}$ són els coeficients de la série de Fourier. En la majoria dels casos, no obstant, una coordenada generalisada original $q_{k}$ podrà expressar-se com una série de Fourier en la seua pròpia variable d'àngul $w_{k}$

q_{k} = \sum_{s_{k} = - \infty}^{\infty} e^{i 2 π s_{k} w_{k}}

Resum del procediment bàsic

El procediment general té tres passos:

Calcular els nous moments generalisats $J_{k}$
Expressar el hamiltoniano original completament en térmens d'estes variables.
Prendre les derivades del hamiltoniano respecte a estos moments per a obtindre les freqüències $ν_{k}$

Vore també

Referències

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3.ª ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) i ISBN 0-08-029141-4 (tapa blana).
H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
G. Sardanashvily, (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems, URSS. ISBN 978-5-396-00687-4

Este artícul conté una traducció derivada de «Coordenadas de acción-ángulo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.