Sistema hamiltoniano integrable

Archiu:Inverse scattering transform.png

Transformació de dispersió inversa.

Un sistema integrable és un cas particular de sistema hamiltoniano que les seues equacions de moviment poden ser resoltes per a qualsevol conjunt de condicions inicials per mig de quadratura. Estos sistemes admeten un número suficient de constants de moviment en involució. El teorema de Liouville-Arnold afirma que un sistema en n graus de llibertat és integrable si posseïx n constants de moviment en involució.

Definició de sistema integrable

Siga un sistema haimiltoniano definit sobre una varietat simpléctica $𝒫$ o, equivalentement, sobre l'espai fásico del sistema. Es diu que una família de funcions $F_1,\dots ,F_n$ definides sobre la varietat simpléctica M (o l'espai fásico) és independent si les 1-formas $d{F}_1,\dots ,d{F}_n$ són linealmente independents en qualsevol punt de M.

Un sistema hamiltoniano sobre M de dimensió 2n es diu integrable en el sentit de Liouville si el seu hamiltoniano admet n integrals de moviment independienes en involució, és dir:

1. $\{H,F_i\}=0$ per a $1\le i\le n$.
2. $\{F_i,F_j\}=0$ per a $1\le i,j\le n$.
3. $d{F}_1\wedge \dots \wedge d{F}_n\ne 0$.

a on $\{\cdot ,\cdot \}$ és el paréntesis de Poisson.

Eixemples

Sistema que admet n variables àngul-acció

Considerant les variables estàndar àngul-acció $(\theta ,I)\in {𝕋}^n\times {ℝ}^n\subset 𝒫$ qualsevol hamiltoniano de la forma $H=H(I)$ és integrable en les integrals:

que estan en involució en qualsevol punt i són independents.

Oscilador harmònic

Siga un oscilador harmònic en n graus de llibertat i siguen les coordenades canòniques $(q,p)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^n$, llavors qualsevol hamiltoniano de la forma:

És integrable sent les integrals de moviment en involució:

Referències

Bibliografia

• Kappeler; Pöschel, {{{nom2}}} (2000). «II. Classical Bacground», KdV & KAM (en anglés), Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, pp. 27-34. ISBN 3-540-02234-1.