Corchete de Dirac

El corchete de Dirac és una generalisació del corchete de Poisson, desenrollat per Paul Dirac per a tractar correctament a sistemes en constricció de segona classe en Mecànica Hamiltoniana i en Cuantización Canònica. És una part important del desenroll de Dirac de la Mecànica Hamiltoniana per a manejar lagrangianas més generals. Més abstractament, la 2-forma implícita des del corchete de Dirac és la constricció de la forma simplética a la superfície ad hoc en l'espai fase.

Este artícul supon familiaridad en els formalisme lagrangiano i hamiltoniano estàndar i la seua conexió en la cuantización. Els detalls del formalisme hamiltoniano modificat de Dirac es resumixen per a colocar el corchete de Dirac en context.

Procediment Hamiltoniano Estàndart

El desenroll estàndar de la Mecànica Hamiltoniana és insuficient en vàries situacions específiques:

1. Quan la lagrangiana és llineal en la velocitat d'a lo manco una coordenada; en este cas, la definició de l'impuls canònic conduïx a una constricció. Esta és la raó més freqüent per la qual recórrer a corchetes de Dirac. Per eixemple, la lagrangiana (densitat) per a qualsevol fermión és d'esta forma.
2. Quan hi ha graus de llibertat que deguen fixar-se.
3. Quan existixen atres constricció que un vullga impondre en l'espai fase.

Eixemple d'un lagrangiana llineal en la velocitat

Un eixemple típic en Mecànica Clàssica, és el de la partícula en càrrega i massa fix en el pla $xy$ en un camp magnètic intens homogéneu i constant, apuntant en la direcció $z$ en força $B_0$. En una selecció de paràmetros adequada, la lagrangiana del sistema és:

$L=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2+\frac{q}{c}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v}-V(\overrightarrow{r}),$

a on $\overrightarrow{A}$ és el potencial vectorial per al camp magnètic $\overrightarrow{B}$; $c$ és la velocitat de la llum en el buit i $V(\overrightarrow{r})$ és un potencial escalar extern arbitrari. Utilisem

$\overrightarrow{A}=\frac{B_0}{2}(x\hat{y}-y\hat{x})$

com el nostre potencial vectorial. Ací, el capell $\hat{}$ indiquen vectores unitaris. Més alvance, en l'artícul s'utilisen per a distinguir els operadors en Mecànica Quàntica dels seus anàlecs clàssics. L'us deu quedar clar des del context.

Explícitament, la lagrangiana es convertix en

$L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+\frac{q{B}_0}{2c}(x\dot{y}-y\dot{x})-V(x,y),$

que conduïx a les equacions de moviment

$m\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}+\frac{q{B}_0}{c}\dot{y}$

$m\ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}-\frac{q{B}_0}{c}\dot{x}.$

Ara, considere el llímit corresponent a un camp magnètic molt gran. En este cas, es pot colocar el terme massiu per a trobar una lagrangiana aproximada

$L=\frac{q{B}_0}{2c}(x\dot{y}-y\dot{x})-V(x,y),$

i equacions de moviment de primer orde

$\dot{y}=\frac{c}{q{B}_0}\frac{\partial V}{\partial x}$

$\dot{x}=-\frac{c}{q{B}_0}\frac{\partial V}{\partial y}.$

Observe, que esta lagrangiana aproximada és llineal en les velocitats, que és una de les condicions baix les quals es trenca el procediment estàndar hamiltoniano. Si ben este eixemple s'ha motivat com una aproximació, la lagrangiana baix consideració, és perfectament admissible i conduïx a equacions de moviment consistents en el formalisme de Lagrange.

Seguint el procediment hamiltoniano, el moment canònic associat en les coordenades

$p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=-\frac{q{B}_0}{2c}y$

$p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=\frac{q{B}_0}{2c}x,$

són inusuals, ya que no són invertibles a les velocitats. Una transformació de Legendre produïx la hamiltoniana

$H(x,y,p_x,p_y)=\dot{x}{p}_x+\dot{y}{p}_y-L=V(x,y).$

Tinga en conte que esta hamiltoniana "principal" no depén dels moments, lo que significa que les equacions de moviment d'Hamilton són incompatibles; el procediment hamiltoniano ha fallat. A voltes, es podria intentar solucionar el problema en expressar les coordenades com a moments i a voltes com a coordenades; no obstant, esta no és una solució general i rigorosa. Esta última observació obté la molla de l'assunt: que la definició dels moments canònics implica una constricció sobre l'espai fase (entre moments i coordenades) mai presa en conte anteriorment.

Vore també

• constricció de primera classe
• constricció de segona classe
• Mecànica hamiltoniana
• corchete de Poisson
• Cuantización
• Lagrange
• Soporte Faddeev–Jackiw
• deformació quàntica del soport Dirac

Referències

• Dirac, Paul A. M., Lectures on Quàntum Mechanics. Belfer Graduate School of Science Monographs Séries Number 2, 1964. ISBN 0-486-41713-1
• Henneaux, Marc and Teitelboim, Claudio, Quantization of Gauge Systems. Princeton University Press, 1992. ISBN 0-691-08775-X
• Weinberg, Steven, The Quàntum Theory of Fields, Volume 1. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-55001-7