Transformada de Legendre

Interpretació geomètrica de la Transformada de Legendre.

En matemàtiques es diu que dos funcions diferenciables f i g són una transformada de Legendre si cada una de les seues primeres derivadas són funció inversa de l'atra:

D f = {(D g)}^{- 1}

Es diu llavors de f i g que estan relacionades per una transformada de Legendre. Són unívoques fins a una constant aditiva que normalment es fixa per mig del requisit adicional de que

f (x) + g (y) = x y .

La transformada de Legendre és la seua pròpia inversa, i està relacionada en l'integració per parts. Dita transformada es pot generalisar a la transformada de Legendre-Fenchel. Una transformada de Legendre dona com resultat una nova funció, en la que se substituïx una o més variables independents en la derivada de la funció original respecte a eixa variable. Reben el seu nom per Adrien-Marie Legendre.

Motivació

En certs problemes matemàtics o físics és desijable expressar una certa magnitut f (com l'energia interna) com a funció diferent g en que els arguments siguen precisament les derivades de la funció respecte a les antigues variables. Si designem al nou argument i es té que la relació en el vell argument és i = df/dx.
La transformació de Legendre permet la construcció anterior, per mig de la teorema de la funció implícita, d'una nova funció g que satisfà els requisits anteriors:

g (y) : = (ℒ f) (y) = x (y) y - f (x (y))

A on $f (x)$ és la funció original i $ℒ : C^{(2)} (D, ℝ) \to C^{(2)} (D, ℝ)$ és l'operador transformada de Legendre. Una funció $f (x)$ admet transformada de Legendre, si existix la seua derivada segona i no s'anula mai:
En eixes condicions el Teorema de la Funció Implícita aplicat a la funció:

\begin{matrix} F : ℝ^{3} & \to & ℝ \\ F (x, y) & = & y - \frac{d f}{d x} \end{matrix}

garantisa que existix la funció diferenciable, x(i).

Aplicacions als potencials termodinàmics

L'estratègia despuix de l'us de les transformades de Legendre és canviar la dependència d'una funció d'una variable independent a una atra funció (la derivada de la funció original sobre la seua variable independent) prenent la diferència entre la funció original i el seu producte. S'usen per a realisar transformacions entre els diversos potencials termodinàmics.

Per eixemple, mentres les energia interna és una funció explícita de les variables extensives, entropía, volum (i composició química)

U = U (S, V, {N_{i}})

l'entalpia és una atra funció d'estat que pot construir-se com la transformada de Legendre de l'energia interna O sobre −PV

H = U + P V = H (S, P, {N_{i}})

P = - {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{S}

es convertix en funció de la entropía i la cantitat intensiva, pressió, com a variables naturals, i és útil quan la P (externa) és constant. La transformació estarà definida sempre que siga possible "invertir" el volum en funció de la pressió i la entropía, cosa que requerix que:

0 \neq {(\frac{\partial^{2} U}{\partial V^{2}})}_{S} = {(\frac{\partial P}{\partial V})}_{S} = - \frac{1}{β_{s} V}

A on β_s és la compresibilidad adiabàtica.

Les energies lliures (Helmholtz i Gibbs s'obtenen per mig de successives transformades de Legendre, eliminant TS (de O i H, respectivament), canviant la dependència de la entropía S a la seua variable conjugada intensiva temperatura T, i és útil quan esta és constant.

Aplicacions a l'electrotècnia

Un atre eixemple de la física: considere un condensador de plaques pla-paraleles les plaques de les quals puguen aproximar-se o alluntar-se una d'una atra, intercanviant treball en forças mecàniques externes que mantenen la separació de les plaques (anàlec a un gas en un cilindre en un pistón. Volem que la força atractiva f entre les plaques siga funció de la separació variable x (Els dos vectores espacials apunten en sentits oposts). Si les càrregues de les plaques es mantenen constants mentres es mouen, la força és el gradient negatiu de l'energia electrostàtica.

U (Q, 𝐱) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} Q V .

No obstant, si es manté constant el voltage entre les plaques V conectant una bateria, que és una reserva de càrrega a diferència de potencial constant, la força es convertix en el gradient negatiu de la transformada de Legendre

U - Q V = - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} Q V .

Les dos funcions resulten ser negatives solament per la llinealidad de la capacitancia. Per supost, per a una càrrega, voltage i distància donades, la força estàtica deu ser la mateixa per mig de qualsevol càlcul ya que les plaques no poden "saber" qué es mantindrà constant mentres es mouen.

Aplicacions en mecànica clàssica

En mecànica clàssica s'usa una transformada de Legendre per a derivar la formulació hamiltoniana partint de la formulació lagrangiana, i viceversa.

Això és possible, ya que la funció lagrangiana o lagrangiano que apareix en la formulació lagrangiana és un funció explícita de les coordenades posicionals q_j i les velocitats generalisades dq_j /dt (i temps). Per la seua banda la funció d'Hamilton o hamiltoniano que apareix en la formulació hamiltoniana és funció explícita de les coordenades posicionals i els moments. El punt important és que els moments poden ser obtinguts com derivades del lagrangiano:

p_{j} = \frac{\partial L (q_{i}, {\dot{q}}_{i})}{\partial {\dot{q}}_{j}}

en la qual cosa estem en les condicions per a construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano (sempre i quan ademés es complixca la condició requerida per la teorema de la funció implícita). En eixes condicions el hamiltoniano ve donat com a transformació de Legendre del lagrangiano:

H (q_{j}, p_{j}, t) = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} p_{i} - L (q_{j}, {\dot{q}}_{j}, t) = \sum_{i} {\dot{q}}_{i} ((q_{i}, p_{i})) p_{i} - L (q_{j}, {\dot{q}}_{j} (q_{i}, p_{i}), t)

La transformació anterior és possible que el lagrangiano en cada punt del espai de configuració siga una forma bilineal quadràtica no-degenerada de les velocitats posat que en eixe cas, la condició d'existència de l'inversa ${\dot{q}}_{j} = {\dot{q}}_{j} (p_{j}, q_{j})$ està automàticament garantisada per la teorema de la funció implícita ya que:

\frac{\partial^{2} L}{\partial {\dot{q}}_{j}^{2}} = a_{j j} \neq 0

Cada una de les dos formulació de la mecànica clàssica té el seu propi camp d'aplicació, tant en els fonaments teòrics del tema com en la pràctica, depenent de la senzillea de còmput d'un problema en particular. Les coordenades no tenen necessàriament que ser rectilíneas o cartesinas, sino també ànguls, etc. Una opció òptima prendria ventaja de les simetrias físiques reals.

Eixemples

Archiu:Legendre-quadratic-animation.gif

Eixemple d'una transformada de Legendre per a una funció quadràtica. En la figura de dalt es mostra la recta tangente de dita curva i, avall, la gràfica de la transformada de Legendre per a esta funció. En còdic de color s'observa que la transformada de Legendre depén de la pendent de la recta tangente i el seu valor correspon a la distància entre la curva original i la distància a on la recta tangente curta a l'eix vertical.

La funció exponencial i^x té a x ln x − x com transformada de Legendre, ya que les primeres derivades respectives i^x i ln x són inversa una de l'atra. Este eixemple mostra que els dominis respectius d'una funció i la seua transformada de Legendre no tenen per qué coincidir.

De forma similar, la forma quadràtica

u (x) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} x^{t} A x

a on A és una matriu simètrica invertible de n per n, té per transformada de Legendre a

v (y) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} y^{t} A^{- 1} y

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Transformada de Legendre» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.