Corchete de Lagrange

En mecànica hamiltoniana, els corchetes de Lagrange són expressions cercamente relacionades en els corchetes de Poisson. Estos varen ser introduïts per Joseph Louis Lagrange en 1808–1810 com a proposició de la formulació matemàtica de la mecànica clàssica, pero han caigut en desús respecte als corchetes de Poisson.

Definició

Suponga's que $(q_1,q_2,\mathrm{...},q_n,p_1,\mathrm{...},p_n)$ és un sistema de coordenades canòniques en un espai de fase. Si cada una està expressada com a funció de dos variables $u$ i $v$, llavors el corchete de Lagrange de $u$ i $v$ està definit com:

Propietats

• Els corchetes de Lagrange no depenen del sistema de coordenades canòniques $(p,q)$, si $(Q,P)=(Q_1,\mathrm{...},Q_n,P_1,\mathrm{...},P_n)$ és un atre sistema de coordenades canòniques, llavors tenim que:

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

és una transformació canònica. El corchete llavors és un invariante de la transformació, en el sentit de que:

$[u,v{]}_{q,p}=[u,v{]}_{Q,P}.$

Per lo tant, els subíndexs solen ser omesos.

• Si $\Omega$ és una forma simpléctica en un espai de fase bidimensional $W$ i $u^1\mathrm{...}{u}^{2n}$ forma un sistema de coordenades en $W$, llavors les coordenades canòniques $(p,q)$ poden ser expressades com a funcions de les coordenades $u$ i la matriu dels corchetes de Lagrange:

$[u_i,u_j{]}_{p,q},1\le i,j\le 2n$

representen els components de $\Omega$, vists com tensorés, en les coordenades $u$. Esta matriu és la matriu inversa de la matriu formada pels corchetes de Poisson:

$\{u_i,u_j\},1\le i,j\le 2n$

de les coordenades $u$.

• Com un corolari de les propietats anteriors, les coordenades $(Q,P)=(Q_1,\mathrm{...},Q_n,P_1,\mathrm{...},P_n)$ en un espai de fase són canòniques si i solament si els corchetes de Lagrange entre ells tenen la forma:

$[Q_i,Q_j{]}_{p,q}=0,[P_i,P_j{]}_{p,q}=0,[Q_i,P_j{]}_{p,q}=-[P_j,Q_i{]}_{p,q}={\delta }_{ij}.$

Vore també

• Corchete de Poisson
• Mecànica lagrangiana
• Mecànica hamiltoniana

Referències

• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
• Iglésies, Patrick, Els origines du calcul symplectique chez Lagrange The origins of symplectic calculus in Lagrange's work, L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277.