Criteri d'Li

En teoria de números, el criteri d'Li és una declaració particular sobre la positividad de certes seqüències que és completament equivalent a la hipòtesis de Riemann. El criteri és anomenat aixina pel matemàtic Xian-Jin Li, el qual ho va propondre en 1997. Recentment, Enrico Bombieri i Jeffrey C. Lagarias varen proporcionar una generalisació, mostrant que la condició de positividad d'Li s'aplica a qualsevol colecció de punts que es trobe sobre la recta Re (s) = 1/2.

Definició

La funció ξ de Riemann es definix com

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$

a on ζ(s) és la funció zeta de Riemann. Considere's la seqüència

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}.$

El criteri d'Li és llavors la declaració que

L'hipòtesis de Riemann és completament equivalent a sentència ${\lambda }_n>0$ per a qualsevol sancer positiu n.

Els números ${\lambda }_n$ també poden expressar-se en térmens dels zeros no trivials de la funció zeta de Riemann:

${\lambda }_n=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n]$

a on la suma s'estén sobre ρ, els zeros no trivials de la funció zeta. Esta suma condicionalment convergent podria ser entesa en el sentit que és l'habitualment usat en teoria de números, és dir, que

$\sum _{\rho }=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{|\mathrm{\Im }(\rho )|\le N}.$

Una generalisació

Bombieri i Lagarias varen demostrar que un criteri similar es complix per a qualsevol colecció d'número complejo, i per tant, no està restringit a l'hipòtesis de Riemann únicament. Més precisament, siga R = {ρ} qualsevol colecció d'número complejo ρ, que no contenen ρ = 1, la qual complix que

$\sum _{\rho }\frac{1+|\mathrm{\Re }(\rho )|}{(1+|\rho |{)}^2}<\mathrm{\infty }.$

Llavors es poden fer vàries declaracions equivalents sobre dit conjunt. Una d'eixes declaracions és la següent:

Es té que $\mathrm{\Re }(\rho )\le 1/2$ para tot ρ si i només si

$\sum _{\rho }\mathrm{\Re }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^{-n}]\ge 0$

per a tots els sancers positius n.

Es poden fer més declaracions interessants, si el conjunt R obecece a certa equació funcional baix la substitució s ↦ 1 − s. És dir, si, sempre que ρ estiga en R, llavors el complex conjugat $\bar{\rho }$ i $1-\rho$ estan en R, després el criteri de Lie pot ser expressat com:

Es té que Re(ρ) = 1/2 para tot ρ si i només si

$\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n]\ge 0.$

Bombieri i Lagarias també varen mostrar que el criteri d'Li' es deriva del criteri de Weil per a l'hipòtesis de Riemann.