Curva de Agnesi



Generació de la curva

En matemàtiques, particularment en el càlcul i en geometria analítica, la curva de Agnesi ([aɲˈɲiːzi]), també cridada impròpiament bruixa de Agnesi, és coneguda aixina per la matemàtica italiana Maria Gaetana Agnesi.^[1]

Es tracta d'una curva oberta que es construïx de la forma següent:

A partir d'una circumferència, i un punt qualsevol O de la circumferència, sent T el punt diametralment opost a O. Per a qualsevol atre punt A de la circumferència, la prolongació de la llínea secante OA curta a la perpendicular a OT que passa per T en B. La llínea paralela a OT que passa per B, i la llínea perpendicular a OT que passa per A es tallen en P. Prenent com a variable el punt A, es definix el conjunt de punts P pertanyents a la curva buscada, la bruixa de Agnesi.

l'asíntota d'esta curva és la llínea tangente a la circumferència que passa pel punt O.

Història

Esta curva va ser estudiada per Pierre de Fermat en 1653, per Luigi Guido Grandi en 1703 i per Maria Gaetana Agnesi en 1748.

Grandi va cridar a la curva versoria, del llatí vertere, que significa virar o girar; versiera en italià és un terme naval que identifica la veta o corda que fa girar la vela. María Gaetana Agnesi es va referir a esta curva com la versiera, afegint-li l'artícul femení la; d'esta manera, la versiera vaig donar Agnesi significa la curva de Agnesi.

Els estudis de Agnesi sobre esta curva varen ser traduïts a l'anglés pel professor de l'Universitat de Cambridge John Colson, qui en tindre escàs coneiximent de l'italià va confondre versiera en avversiera, que en italià significa 'diable', 'demonia'. Per això va traduir el terme a l'anglés com witch (hechicera, bruixa), i esta anècdota ha fet que hi haja qui agrade de cridar "bruixa" a esta curva. En atres idiomes es parla de loci (en llatí, 'llocs' geomètrics) de Agnesi. En italià es denomina versiera, com deu ser.^[2]^[3]

Equacions

La curva de Agnesi pot representar-se analíticamente com a funció en el pla xy, tant en la seua forma cartesiana i= f(x) com paramétricamente: x= f(t), i= g(t).

Equació cartesiana

Per a deduir la fòrmula cartesiana, es va a prendre el punt O com orige de coordenades, es localisa T en el costat positiu del eix i, i com a ràdio de la circumferència es fixa el valor a.

Segons la figura, es tenen les següents equacions, per la definició de tangente en el triàngul OAE rectàngul en I i el triàngul OBD rectàngul en D, semblants entre sí:

\tan α = \frac{\overline{A E}}{\overline{E O}} = \frac{\overline{B D}}{\overline{D O}}

El triàngul ACF és rectàngul en F, i pel teorema de Pitágoras, es té que

{(\overline{A C})}^{2} = {(\overline{A F})}^{2} + {(\overline{C F})}^{2}

Es poden vore també les següents igualtats:

{\begin{matrix} \overline{C O} & = & \overline{C F} + \overline{F O} \\ \overline{F O} & = & \overline{A E} \\ \overline{B D} & = & 2 \cdot \overline{C O} \\ \overline{A F} & = & \overline{E O} \\ \overline{A C} & = & \overline{C O} = a \\ \overline{A E} & = & \overline{P D} = y \\ \overline{D O} & = & x \end{matrix}

que es pot resumir en les relacions:

{\begin{matrix} \tan α = \frac{y}{\overline{E O}} = \frac{2 a}{x} \\ \begin{matrix} a^{2} = {(\overline{E O})}^{2} + {(\overline{C F})}^{2} \\ a = \overline{C F} + y \end{matrix}} \to {(\overline{E O})}^{2} = y (2 a - y) \end{matrix}

Partint de les equacions, es deduïx que:

\begin{matrix} \frac{y}{\overline{E O}} = \frac{2 a}{x} \\ {(\overline{E O})}^{2} = y (2 a - y) \end{matrix}} \to \frac{y}{\sqrt{y (2 a - y)}} = \frac{2 a}{x}

Elevant l'equació al quadrat s'obté:

\frac{y^{2}}{y (2 a - y)} = \frac{4 a^{2}}{x^{2}} \to \frac{y}{2 a - y} = \frac{4 a^{2}}{x^{2}} \to \frac{2 a - y}{y} = \frac{x^{2}}{4 a^{2}} \to \frac{2 a}{y} - 1 = \frac{x^{2}}{4 a^{2}}

I operant les expressions anteriors, s'aplega a:

\frac{2 a}{y} = \frac{x^{2}}{4 a^{2}} + 1 \to \frac{2 a}{y} = \frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{4 a^{2}}{4 a^{2}} \to \frac{2 a}{y} = \frac{x^{2} + 4 a^{2}}{4 a^{2}}

Invertint la fracció i simplificant, s'obté com a resultat:

\frac{y}{2 a} = \frac{4 a^{2}}{x^{2} + 4 a^{2}} \to y = \frac{8 a^{3}}{x^{2} + 4 a^{2}}

Llavors, la curva té per equació cartesiana:

y = \frac{8 a^{3}}{x^{2} + 4 a^{2}}

Nota: si es pren a a=1/2, llavors l'equació adopta una forma molt senzilla:

y = \frac{1}{x^{2} + 1} .

Equació paramètrica

Paramétricamente, si $α$ és l'àngul entre OD i OB, o lo que és lo mateix entre OE i OA, medit en sentit trigonométrico, llavors la curva es definix per les equacions:

Partint, de la mateixa manera que en l'equació cartesiana, de:

{\begin{matrix} \tan α = \frac{y}{\overline{E O}} = \frac{2 a}{x} \\ {(\overline{E O})}^{2} = y (2 a - y) \end{matrix}

Primer, es rebuja la x respecte de $α$ :

\tan α = \frac{2 a}{x}

En lo que fàcilment es pot vore, que:

x = \frac{2 a}{\tan α} = 2 a \cot α

Ara, es rebuja la i respecte a $α$ , partint de:

\begin{matrix} \tan α = \frac{y}{\overline{E O}} \\ {(\overline{E O})}^{2} = y (2 a - y) \end{matrix}} \to \tan α = \frac{y}{\sqrt{y (2 a - y)}}

Sabent que:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}

es obtien:

\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y}{\sqrt{y (2 a - y)}}

Elevant esta expressió al quadrat, resulta:

\frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{y^{2}}{y (2 a - y)} \to \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{y}{2 a - y} \to \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{2 a - y}{y} \to \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{2 a}{y} - 1

Operant en l'expressió:

\frac{2 a}{y} = \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} + 1 \to \frac{2 a}{y} = \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} + \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} α} \to \frac{2 a}{y} = \frac{\cos^{2} α + \sin^{2} α}{\sin^{2} α}

Sabent que:

1 = \sin^{2} α + \cos^{2} α

s'obté:

\frac{2 a}{y} = \frac{1}{\sin^{2} α} \to \frac{y}{2 a} = \sin^{2} α \to y = 2 a \sin^{2} α

x = 2 a \cot α

y = 2 a \sin^{2} α

Estes equacions depenen de l'àngul $α$ i de la corresponent funció trigonométrica. També existix una forma paramètrica més senzilla, eliminant les funcions trigonométricas.

Es partix de les equacions:

x = \frac{2 a}{\tan α}

y = 2 a \sin^{2} α

i sabent que:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}

es pren l'invers:

\frac{1}{\tan α} = \frac{\cos α}{\sin α}

per la relació del coseno respecte al sen:

\frac{1}{\tan α} = \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} α}}{\sin α}

aplicant la raïl al denominador:

\frac{1}{\tan α} = \sqrt{\frac{1 - \sin^{2} α}{\sin^{2} α}}

operant la fracció:

\frac{1}{\tan α} = \sqrt{\frac{1}{\sin^{2} α} - 1}

i si es denomina t a:

t = \frac{1}{\tan α}

es té que:

t = \sqrt{\frac{1}{\sin^{2} α} - 1}

eliminant la raïl:

t^{2} = \frac{1}{\sin^{2} α} - 1

operant:

t^{2} + 1 = \frac{1}{\sin^{2} α}

lo que resulta:

\sin^{2} α = \frac{1}{t^{2} + 1}

En estos resultats i les equacions originals, s'obté:

\begin{matrix} x = \frac{2 a}{\tan α} \\ y = 2 a \sin^{2} α \\ \frac{1}{\tan α} = t \\ \sin^{2} α = \frac{1}{t^{2} + 1} \end{matrix}} ⟶ {\begin{matrix} x = 2 a t \\ y = \frac{2 a}{t^{2} + 1} \end{matrix}

En lo que les equacions paramètriques prenen la forma:

x = 2 a t

y = \frac{2 a}{t^{2} + 1}

a on t és un paràmetro real. El signe de t és el mateix que el de x, aixina si t és negatiu x serà negatiu, i si t és positiu x serà també positiu. Independentment del valor de t, i sempre prendrà valors positius, per a t igual a zero, x valdrà zero é i valdrà 2a.

Quan t tendix a infinit, x també tendix a infinit é i es fa zero.

Vore també

Referències

↑ Bronshtein- semendiaev Manual de matemàtica per a ingeniers i estudiants
↑ "A Brief History of The Lucasian Professorship of Mathematics at Cambridge University" — Robert Bruen, Boston College, May 1995
↑ The Witch of Agnesi - Mathforum.org

Fonts

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Curva de Agnesi» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Bronshtein- semendiaev Manual de matemàtica per a ingeniers i estudiants

[2] "A Brief History of The Lucasian Professorship of Mathematics at Cambridge University" — Robert Bruen, Boston College, May 1995

[3] The Witch of Agnesi - Mathforum.org

[1]

[2]

[3]