Desigualtat de Boole

En teoria de la provabilitat, la desigualtat de Boole estipula que para tota família finita o numerable de successos, la provabilitat de que a lo manco un d'eixos successos ocórrega és menor o igual a la suma de les provabilitats dels successos individuals. De manera més formal,

Demostració

Família finita

Primer es tracta, per inducció, el cas d'una família finita $(A_1,\dots ,A_m)$ de successos.

Es tracta de provar que $\mathbb{P}(A_1\cup \cdots \cup A_m)\le \mathbb{P}(A_1)+\cdots +\mathbb{P}(A_m)$.

La desigualtat és certa per a $m=1$. Suposta certa per a un $m$ dau, es considera una família $(A_1,\dots ,A_{m+1})$ de $m+1$ successos.

Siga $E=A_1\cup \cdots \cup A_m$ : $\mathbb{P}(E)\le \mathbb{P}(A_1)+\cdots +\mathbb{P}(A_m)$ (hipòtesis d'inducció).

Llavors: $\mathbb{P}(A_1\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb{P}(E\cup A_{m+1})=\mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(A_{m+1})-\mathbb{P}(E\cap A_{m+1})$,

d'a on: $\mathbb{P}(A_1\cup \cdots \cup A_{m+1})\le \mathbb{P}(E)+\mathbb{P}(A_{m+1})\le \mathbb{P}(A_1)+\cdots +\mathbb{P}(A_m)+\mathbb{P}(A_{m+1})$.

Família numerable

Ara es tracta el cas d'una família numerable $(A_n{)}_{n\ge 1}$ de successos.

Per a tot número natural $n$ (distint de zero), siga $E_n=A_1\cup \cdots \cup A_n$; llavors $\mathbb{P}(E_n)\le \sum _{k=1}^n\mathbb{P}(A_k)$.

La desigualtat de Boole es comprova per pas al llímit sobre $n$; en efecte $\bigcup _{n\ge 1}{E}_n=\bigcup _{n\ge 1}{A}_n$ i para tot $n$, $E_n\subset E_{n+1}$, llavors $\lim \mathbb{P}(E_n)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{n\ge 1}{A}_n\right)$.

Un atre método

Atre método que tracta al mateix temps el cas finito i el cas numerable: siga $A{\text{'}}_1=A_1$ i para tot $n\ge 2$, $A{\text{'}}_n=A_n\setminus (A_1\cup \cdots \cup A_{n-1})$.

Llavors $\bigcup _n{A}_n=\bigcup _{n}A{\text{'}}_n$, i els successos $A{\text{'}}_1,A{\text{'}}_2,\dots$ són incompatibles dos a dos;
per una atra part, per a tot $n,A{\text{'}}_n\subset A_n$, llavors $\mathbb{P}(A{\text{'}}_n)\le \mathbb{P}(A_n)$ ($\mathbb{P}$ és creixent).

De tot açò, es deduïx que $\mathbb{P}\left(\bigcup _n{A}_n\right)=\mathbb{P}\left(\bigcup _{n}A{\text{'}}_n\right)=\sum _n\mathbb{P}(A{\text{'}}_n)\le \sum _n\mathbb{P}(A_n)$.

Teoria de la mida

En llenguage de la teoria de la mida, la desigualtat de Boole es deriva del fet de que una mida de provabilitat és σ-subaditiva, com és el cas de tota mida.

Desigualtats de Bonferroni

Les anomenades desigualtats de Bonferroni generalisen la desigualtat de Boole i proporcionen mayorantes i minorantes de la provabilitat d'unions finitas de successos.

Sean:

$S_1:=\sum _{i=1}^n\mathbb{P}(A_i),$

$S_2:=\sum _{i<j}\mathbb{P}(A_i\cap A_j),$

i per a 2 < k ≤ n,

$S_k:=\sum \mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}),$

a on la suma de realisa sobre totes les k-uplas estrictament creixents de sancers positius compresos entre 1 i n.

Llavors para tot sancer positiu impar k tal que 1 ≤ k ≤ n

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j+1}{S}_j,$

i para tot sancer positiu parell k tal que 2 ≤ k ≤ n

$\mathbb{P}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\ge \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j+1}{S}_j.$

La desigualtat de Boole es dona per a k = 1.

Vore també

• Axioma de provabilitat
• Principi d'inclusió-exclusió
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole