Distància de Mahalanobis

En estadística, la distància de Mahalanobis és una mida de distància introduïda per Mahalanobis en 1936. La seua utilitat radica que és una forma de determinar la similitut entre dos variables aleatòries multidimensionales. Es diferencia de la distància euclídea en que té en conte la correlació entre les variables aleatòries.

Formalment, la distància de Mahalanobis entre dos variables aleatòries en la mateixa distribució de provabilitat $\vec{x}$ i $\vec{y}$ en matriu d'covarianza $Σ$ es definix com:

d_{m} (\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(\vec{x} - \vec{y})^{T} Σ^{- 1} (\vec{x} - \vec{y})} .

Propietats com a distància

La distància de Mahalanobis complix les següents propietats, necessàries per a ser una distància:

Semipositividad: $d (a, b) \geq 0 \forall a, b \in X$ i ademés $d (a, b) = 0 s i a = b$

És dir, la distància entre dos punts de les mateixes coordenades és zero, i si tenen coordenades distintes la distància és positiva, pero mai negativa.

Simetria: $d (a, b) = d (b, a) \forall a, b \in X$

Intuitivament, la distància entre $a$ i $b$ és la mateixa que entre $b$ i $a$ .

Desigualtat triangular: $d (a, b) \leq d (a, c) + d (c, b) \forall a, b, c \in X$

Eixemple pràctic

Per a entendre l'utilitat de la distància de Mahalanobis es pot considerar el següent eixemple pràctic: Un peixcador vol poder medir la similitut entre dos salmones, per eixemple perque vullgues classificar-los en dos tipos per a la seua venda i poder aixina vendre els grans més cars. Per a cada salmón medix el seu esgambi i el seu llongitut. En estes senyes construïx un vector ${\vec{x}}_{i} = (x_{1 i}, x_{2 i})^{T}$ per a cada salmón $i$ .

La llongitut dels salmones peixcats és una variable aleatòria que pren valors entre 50 i 100cm, mentres que el seu esgambi està entre 10 i 20cm. Si el peixcador usara la distància euclídea: $d_{e} (\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}}) = \sqrt{(x_{11} - x_{12})^{2} + (x_{21} - x_{22})^{2}}$

O en notació vectorial: $d_{e} (\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}}) = \sqrt{({\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2})^{T} ({\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2})}$

en ser les diferències d'esgambi menys quantioses que les de llongitut, els estarà donant menys importància. Per esta raó, el peixcador decidix incorporar l'estadística de les senyes a la mida de distància, ponderant segons la seua varianza: les variables en menys varianza tindran més importància que les de major varianza. D'esta forma pretén igualar l'importància de l'esgambi i la llongitut en el resultat final. L'expressió quedaria:

$d_{2} (\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}}) = \sqrt{{(\frac{(x_{11} - x_{12})}{σ_{1}})}^{2} + {(\frac{(x_{21} - x_{22})}{σ_{2}})}^{2}}$

A on $σ_{i}$ és la desviació estàndar de la component $i$ dels vectores de mides.

O en notació vectorial: $d_{e} (\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}}) = \sqrt{({\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2})^{T} S^{- 1} ({\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2})}$

A on $S$ és una matriu diagonal els elements de la qual en la diagonal $s_{i i} = σ_{i}^{2}$

Pero l'expressió anterior té un problema, i és que la llongitut i esgambi dels salmones no són independents; és dir, l'esgambi depén en certa forma de la llongitut, puix és més provable que un salmón llarc siga també més ample. Per a incorporar la dependència entre les dos variables. el peixcador pot substituir la matriu diagonal $S$ per la matriu d'covarianza $Σ$ :

$d_{m} (\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}}) = \sqrt{({\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2})^{T} Σ^{- 1} ({\vec{x}}_{1} - {\vec{x}}_{2})}$

Que és la distància de Mahalanobis.

Bibliografia

P.C. Mahalanobis, On the generalised distance in statistics, Proceedings of the National Institute of Science of Índia 12 (1936) 49-55.

Este artícul conté una traducció derivada de «Distancia de Mahalanobis» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.