Distribució T² de Hotelling

Erro al crear miniatura:

Funció de densitat de provabilitat.Paràmetros:p - dimensió de les variables aleatòries.m - relacionat en el tamany de la mostra.

En estadística la distribució T² (T-quadrat) de Hotelling és important perque es presenta com la distribució d'un conjunt d'estadístiques que són una generalisació natural de les estadístiques subjacents distribució t de Student. En particular, la distribució es presenta en estadístiques multivariadas en proves de diferències entre les miges (multivariadas) de diferents poblacions, a on les proves per a problemes univariados usarien la Prova t. És proporcional a la distribució F.

La distribució rep el seu nom d'Harold Hotelling, qui la desenrolle com una generalisació de la distribució t de Student.

Definició

Si el vector $d$ té distribució normal multivariada en mija zero i matriu d'covarianza unitària $N(0_p,{𝑰}_{p,p})$ i $M$ és una matriu de tamany $p\times p$ en matriu unitària escalada i $m$ els graus de llibertat en distribució de Wishart $W({𝑰}_{p,p},m)$ llavors la forma quadràtica $X$ té distribució de Hotelling en paràmetros $p$ i $m$:

$X=m{d}^T{M}^{-1}d\sim T^2(p,m)$

Si la variable aleatòria $X$ té distribució T-quadrat de Hotelling en paràmetros $p$ i $m$, $X\sim T_{p,m}^2$, llavors

$\frac{m-p+1}{pm}X\sim F_{p,m-p+1}$

a on $F_{p,m-p+1}$ és la distribució F en paràmetros $\mathrm{p}$ i $m-p+1$.

Estadística T-quadrat de Hotelling

L'estadística T-quadrat de Hotelling és una generalisació de l'estadística t de Student que s'usa en les proves d'hipòtesis multivariadas, i es definix com seguix:

Siga ${𝒩}_p(𝝁,𝜮)$, que denota una distribució normal p-variada en vector de miges $𝝁$ i covarianza $𝜮$. Sean

${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n\sim {𝒩}_p(𝝁,𝜮)$

$n$ variables aleatòries independents, les quals poden representar-se com un vector columna d'orde $p\times 1$ de número real. Definixca's

$\overline{𝐱}=\frac{{𝐱}_1+\cdots +{𝐱}_n}{n}$

com la mija mostral. Pot demostrar-se que

$n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }{𝜮}^{-1}(\overline{𝐱}-𝝁)\sim {\chi }_p^2,$

a on ${\chi }_p^2$ és una distribució ji-quadrat en p graus de llibertat. Per a demostrar això s'usa el fet que $\overline{𝐱}\sim {𝒩}_p(𝝁,𝜮/n)$ i llavors, en derivar la funció característica de la variable aleatòria $𝐲=n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }{𝜮}^{-1}(\overline{𝐱}-𝝁)$

$$\begin{array}{cc}{\varphi }_{𝐲}(\theta )& =\mathrm{E}{e}^{i\theta 𝐲}\\ & =\mathrm{E}{e}^{i\theta n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }{𝜮}^{-1}(\overline{𝐱}-𝝁)}\\ & =\int e^{i\theta n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }{𝜮}^{-1}(\overline{𝐱}-𝝁)}(2\pi {)}^{-\frac{p}{2}}|𝜮/n{|}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }{𝜮}^{-1}(\overline{𝐱}-𝝁)}d{x}_1\mathrm{...}d{x}_p\\ & =\int (2\pi {)}^{-\frac{p}{2}}|𝜮/n{|}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }({𝜮}^{-1}-2i\theta {𝜮}^{-1})(\overline{𝐱}-𝝁)}d{x}_1\mathrm{...}d{x}_p\\ & =|({𝜮}^{-1}-2i\theta {𝜮}^{-1}{)}^{-1}/n{|}^{\frac{1}{2}}|𝜮/n{|}^{-\frac{1}{2}}\int (2\pi {)}^{-\frac{p}{2}}|({𝜮}^{-1}-2i\theta {𝜮}^{-1}{)}^{-1}/n{|}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }({𝜮}^{-1}-2i\theta {𝜮}^{-1})(\overline{𝐱}-𝝁)}d{x}_1\mathrm{...}d{x}_p\\ & =|({𝐈}_p-2i\theta {𝐈}_p){|}^{-\frac{1}{2}}\\ & =(1-2i\theta {)}^{-\frac{p}{2}}\end{array}$$

No obstant, $𝜮$ és per lo general desconeguda i es busca fer una prova d'hipòtesis sobre el vector de miges $𝝁$.

Definixca's

$𝐖=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n({𝐱}_i-\overline{𝐱})({𝐱}_i-\overline{𝐱}{)}^{\prime }$

com la covarianza mostral. La trasponer s'ha denotat en un apòstrof. Es demostra que $𝐖$ és una matriu definida positiva i $(n-1)𝐖$ seguix una distribució Wishart p-variada en n−1 graus de llibertat. L'estadística T-quadrat de Hotelling es definix llavors com

$t^2=n(\overline{𝐱}-𝝁{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-𝝁)$

perque es demostra que ^{cita requerida}

$t^2\sim T_{p,n-1}^2$

és dir

$\frac{n-p}{p(n-1)}{t}^2\sim F_{p,n-p},$

a on $F_{p,n-p}$ és una distribució $F$ en paràmetros $p$ i $n-p$. Per a calcular un p-valor, multiplique l'estadística t² i la constant anterior i use la distribució $F$.