Distribució d'objectes en recipients

Dins de la teoria combinatòria alguns problemes de reconte i un gran número de qüestions combinatòries poden ser resoltes i descrites en forma de distribucions de objectes en recipients («boles en caixes»).

Existixen numerosos casos dins d'este tipo de distribucions, ya que es classifiquen segons si els objectes o les caixes són distinguibles o indistinguibles i també tenint en conte el tipo d'aplicació a la que estan associades, és dir, les diferents restriccions sobre les distribucions.

Tenint en conte lo anterior, nos trobem en alguns dels següents casos, cridats models d'ocupació:

Objectes i recipients distinguibles (numerables)

Considerem $n$ caixes distinguibles i $k$ boles distinguibles.

I també, tenint en conte les aplicacions d'un conjunt de $k$ elements en un de $n$ elements, dit d'una atra manera, les posicions que poden prendre els objectes en les diferents caixes. Alguns dels casos que nos trobem són:

• Que puguen quedar caixes buides (aplicació qualssevol), per a això $n$ pot prendre qualsevol valor i pot haver més d'un objecte en una caixa:
  • Variacions en repetició: $V{R}_n^k$
• Atenint a la condició de que hi haja un únic objecte per recipient (aplicació inyectiva), possible solament si $n>=k$, major o igual número de caixes que de boles:
  • Variació: $V_n^k$
• En la condició anterior de que hi haja un únic objecte per recipient i que ademés no hi haja cap recipient buit (aplicació biyectiva), té que ocórrer que $n=k$, mateix número de caixes que de boles:
  • Permutació: $Pn$

Objectes indistinguibles i recipients distinguibles

Considerem $k$ boles indistinguibles i $n$ caixes distinguibles. Ara no es fa la pregunta de «quines boles van en cada una de les caixes», ya que no les podem numerar. Els casos destacats són:

• En el cas de que puguen quedar caixes buides i en a on $n$ pot prendre qualsevol valor, és dir, sense cap restricció (aplicació qualssevol):
  • Combinacions en repetició: $C{R}_{n,k}$
• En la condició de que no es permeten caixes buides (aplicació sobreyectiva), en a on $k>=n$, major número d'objectes que de recipients:
  • $C{R}_n^{k-n}=C_{k-1}^{n-1}$
• En la condició de que hi haja un únic objecte per recipient (aplicació inyectiva), en a on té que ocórrer que $n>=k$ :
  • Combinacions: $C_{n,k}$

Vore també

• Combinatòria
• Relació de recurrencia