Distribució de Landau

En teoria de la provabilitat, la distribució de Landau és una distribució de provabilitat nomenada en honor a Lev Landáu. Per la coa "pesada" de la distribució, els moments de la distribució, com la mija o la varianza, no estan definits. Esta distribució és un cas particular de distribució estable.

Definició

La funció de densitat de provabilitat, tal com va ser escrita originalment per Landau, està definida per l' integral complexa:

$p(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{a-i\mathrm{\infty }}{\overset{a+i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{s\log (s)+xs}ds,$

a on a és un número real positiu arbitrari, lo que significa que la ruta d'integració pot ser qualsevol paralela a l'eix imaginari que es interseque en el semieix real positiu, i $\log$ es referix al logaritmo natural.

La següent integral real és equivalent a l'anterior:

$p(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t\log (t)-xt}\sin (\pi t)dt.$

La família completa de distribucions de Landau s'obté en estendre la distribució original a una família de distribucions estables en paràmetros d'estabilitat $\alpha =1$ i d'asimetria $\beta =1$, en la funció característica:

$\phi (t;\mu ,c)=\exp (it\mu -\frac{2ict}{\pi }\log |t|-c|t|),$

a on $c\in (0,\mathrm{\infty })$ i $\mu \in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, que produïx una funció de densitat:

$p(x;\mu ,c)=\frac{1}{\pi c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}\cos (t\left(\frac{x-\mu }{c}\right)+\frac{2t}{\pi }\log \left(\frac{t}{c}\right))dt.$

Observem que la forma original de $p(x)$ s'obté per a $\mu =0$ i $c=\frac{\pi }{2}$, mentres que la següent és una aproximació de $p(x;\mu ,c)$ per a $\mu =0$ i $c=1$:

$p(x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{x+e^{-x}}{2}).$

Distribucions relacionades

• Si $X\sim \text{Landau}(\mu ,c)$ llavors $X+m\sim \text{Landau}(\mu +m,c)$.
• La distribució de Landau és una distribució estable en paràmetro d'estabilitat $\alpha$ i paràmetro d'asimetria $\beta$ abdós iguals a 1.