Distribució de provabilitat contínua

Una distribució de provabilitat contínua, la distribució normal.

En teoria de la provabilitat una distribució de provabilitat es diu contínua si la seua funció de distribució és contínua. ya que la funció de distribució d'una variable aleatòria X ve donada per $F_X(x)=P(X\le x)$, la definició implica que en una distribució de provabilitat contínua X es complix P[X = a] = 0 para tot número real a, açò és, la provabilitat de que X prenga el valor a és zero per a qualsevol valor de a. Si la distribució de X és contínua, es diu a X variable aleatòria contínua.

En les distribucions de provabilitat contínues, la distribució de provabilitat és l'integral de la funció de densitat, per lo que tenim llavors que:

$F(x)=P(X\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

Existix una definició alternativa més rigorosa en la que el terme "distribució de provabilitat contínua" es reserva a distribucions que tenen funció de densitat de provabilitat. També estes funcions es diuen, en més precisió, variables aleatòries absolutament contínues (vore el Teorema de Radon-Nikodym). Per a una variable aleatòria X absolutament contínua és equivalent dir que la provabilitat P[X = a] = 0 per a tot número real a, en virtut de que hi ha un incontables conjunts de mida de Lebesgue zero (per eixemple, el conjunt de Cantor).

Una variable aleatòria en la distribució de Cantor és contínua d'acort en la primera definició, pero segons la segona, no és absolutament contínua. Tampoc és discreta, ni una mija ponderada de variables discretes i absolutament contínues.

En aplicacions pràctiques, les variables aleatòries a sovint oferix una distribució discreta o absolutament contínua, encara que també apareguen de forma natural mescles dels dos tipos.

Definició

Per a una variable contínua hi ha infinits valors possibles de la variable i entre cada dos d'ells es poden definir infinits valors més. En estes condicions no és possible deduir la provabilitat d'un valor puntual de la variable; com es pot fer en el cas de variables discretes, pero és possible calcular la provabilitat acumulada fins a un cert valor (funció de distribució de provabilitat), i es pot analisar com canvia la provabilitat acumulada en cada punt (estos canvis no són provabilitats sino un atre concepte: la funció de densitat.

En el cas de variable contínua la distribució de provabilitat és l'integral de la funció de densitat, per lo que tenim llavors que:

$F(x)=P(X\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(x)dx$

Siga $X$ una variable contínua, una distribució de provabilitat o funció de densitat de provabilitat (FDP) de $X$ és una funció $f(x)$ tal que, per a qualssevol dos números $a$ i $b$ sent $a\le b$.

$P(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

La gràfica de $f(x)$ es coneix a voltes com a curva de densitat, la provabilitat de que $X$ prenga un valor en l'interval $[a,b]$ és l'àrea baixe la curva de la funció de densitat; aixina, la funció medix concentració de provabilitat al voltant dels valors d'una variable aleatòria contínua.

$P(a\le X\le b)=$ àrea baixe la curva de $f(x)$ entre $a$ i $b$

Per a que $f(x)$ siga una FDP ($FDP=f(x)$) llegítima, deu satisfer les següents dos condicions:

1. $f(x)$ $\ge$ 0 per a tota $x$.

2. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$

Ya que la provabilitat és sempre un número positiu, la FDP és una funció no decreixent que complix:

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$. És dir, la provabilitat de tot l'espai mostral és 1.

2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$. És dir, la provabilitat del succés nul és zero.

Algunes FDP estan declarades en rancs de $-\mathrm{\infty }$ a $\mathrm{\infty }$, com la de la distribució normal.

Distribucions contínues

Les distribucions de variable contínua més importants són les següents:

• Distribució Beta
• Distribució exponencial
• Distribució F
• Distribució Gamma
• Distribució ji quadrat
• Distribució normal

• Distribució t de Student
• Distribució uniforme contínua