Eix mig

Archiu:Ellipse symmetry set.svg

Una elipse (roja), la seua evoluta (blava) i el seu eix mig (vert). El conjunt simetria (symmetry set), un superconjunto de l'eix mig, està format per les llínees verda i groga. També, es mostra un círcul bitangente.

El eix mig d'un objecte és el conjunt de tots els punts que tenen més d'un punt més propenc a la vora de l'objecte. Originalment conegut com l'esquelet topològic, va ser introduït per Blum com una ferramenta per al reconeiximent de formas biològiques. En matemàtiques, la clausura topològica de l'eix mig es coneix com el lloc geomètric de cort (cut locus).

En 2D, l'eix mig d'una curva plana S és el lloc geomètric dels centres dels círculs que són tangentes a la curva S en dos o més punts, en el que tots estos círculs estan continguts en S. (D'això es desprén que l'eix mig es troba en S.) L'eix mig d'un polígon simple és un arbre els fulls del qual són els vèrtiços del polígon i les arestes del qual són segments de rectes o arcs de paràboles.

L'eix mig junt en la funció radi associada dels discs màxims inscrits es denomina la transformació de l'eix mig. La transformació de l'eix mig és un descriptor de formes complet (vore també anàlisis de formes), lo que significa que pot ser utilisat per a reconstruir la forma del domini original.

L'eix mig és un subconjunt del conjunt simetria que es definix de manera similar, excepto que també inclou als círculs que no estan continguts en S. (Per lo tant, el conjunt simetria de S s'estén generalment fins a l'infinit, similar al diagrama de Voronoi d'un conjunt de punts.)

L'eix mig es generalisa a hipersuperficies de k-dimensions per mig de la substitució dels círculs en 2D en hiperesferas de dimensió k. L'eix mig en 2D és útil per al reconeiximent òptic de caràcters i d'objectes, mentres que l'eix mig en 3D té aplicacions en la reconstrucció de superfícies per a models físics i per a la reducció dimensional de models complexos.

Si S està donada per una parametrización de l'unitat de velocitat $\gamma :𝐑\to {𝐑}^2$, i $\underset{\_}{T}(t)=\frac{d\gamma }{dt}$ és el vector tangente unitari en cada punt. Llavors, hi haurà un círcul bitangente en centre c i ràdio r si

• $(c-\gamma (s))\cdot \underset{\_}{T}(s)=(c-\gamma (t))\cdot \underset{\_}{T}(t)=0,$
• $|c-\gamma (s)|=|c-\gamma (t)|=r.$

Per a la majoria de les curves, el conjunt simetria formarà una curva unidimensional i pot contindre cims. El conjunt simetria té punts finals corresponents als vèrtiços de S.

Archiu:MedialAxisTransformOf3dObject.png

(a) Un simple objecte en 3D. (b) La seua transformació de l'eix mig. Els colors representen la distància des de l'eix mig als llímits de l'objecte.