Elasticitat micropolar

La elasticitat micropolar és una extensió de l'elasticitat clàssica que inclou graus de llibertat adicionals per a representar la reorientació de la microestructura de certs sòlits o materials en microestructura. Si en elasticitat clàssica es requerix especificar en cada punt 3 desplaçaments, l'elasticitat micropolar requerix adicionalment 3 graus de llibertat adicionals per a donar conte de la reorientació local de la microestructura.

Introducció

L'elasticitat micropolar va ser iniciada en un treball de 1909 dels germans Cosserat. Encara que este treball va ser àmpliament ignorat i només décades més tart va ser àmpliament valorat. A finals dels anys 1950 i principis dels anys 1960, Gunther (1958), Grioli (1960), Rajagopal (1960), Aero and Kuvshinskii (1960), Mindlin & Tiersten (1962), Toupin(1962) varen fer generalisacions en la llínea iniciada pels Cosserats. Posteriorment, Eringen (1962), Koiter (1964), Palmov (1964) i Nowacki (1974) varen generalisar la teoria incloent nous graus de llibertat. La formulació iniciada en Eringen & Suhubi (1964) i Suhubi & Eringen (1964) va donar lloc a una teoria no llineal de la microelasticidad, més generalment coneguda com mecànica de mijos microcontinuos que generalisa la mecànica de mijos continus clàssica. En esta mecànica de mijos microcontinuos els moviments dels microlementos i la microestructura són presos en conte com a graus de llibertat independents dels desplaçaments que descriuen la deformació general.

El major número de graus de llibertat implica que l'estat elàstic no queda descrit unívocamente pel tensor de deformació, sino que junt en el tensor de deformació es definix un tensor de microdeformación i junt en el tensor de tensions es definix un tensor de torque tensional (couple stress tensor). L'elasticitat clàssica és un cas particular en que tant el tensor de microdeformación com el tensor de torque tensional són nuls.

Deformació i microdeformación

El tensor deformació es relaciona de la mateixa manera que en elasticitat clàssica es forma a partir de les derivades dels desplaçaments i els girs de la microestructura per mig de la relació:

a on en l'expressió anterior s'ha usat el conveni de sumación d'Einstein (que se seguirà usant en el restant de l'artícul) i ademés:

$𝐮=(u_x,u_y,u_z)$, és el vector desplaçament.

$\{{\varphi }_x,{\varphi }_y,{\varphi }_z\}$, són els ànguls que donen la reorientació local de la microestructura.

${ϵ}_{ijk}$, és símbol de Levi-Civita.

El tensor de deformacions de l'elasticitat clàssica és de fet la part simètrica del tensor anterior:

El tensor de microdeformación es definix a partir de les derivades dels ànguls de reorientació:

Note's que ni el tensor deformació, ni el tensor microdeformación tenen perqué ser simètrics (a diferència de lo que succeïx en l'elasticitat clàssica).

Equació d'equilibri

Les equacions d'equilibri per al tensor de tensions ordinari resulten idèntiques a la de l'elasticitat clàssica. Esta equació deu suplementarse en una equació d'equilibri que involucre al tensor de torque tensional:

Prediccions empíriques

• En sòlits cristalins existix dispersió de fonones, la teoria clàssica de l'elasticitat precide dos tipos d'ones, el llongitudinal acústic i el travesser acústic, pero en sòlits cristalins la cela elemental dels quals està formada per més d'un àtom i per tant existix la possibilitat de reorientació de la microestructura, existixen ademés dos modos adicionals de dispersió (el llongitudinal òptic i el travesser òptic). Ademés estos modos presenten una velocitat de grup oposta a la velocitat de fase, a diferència de lo que succeïx en els modos acústics.