Equació de Hasegawa-Mima

En la física del plasma, la equació de Hasegawa-Mima, cridada aixina per Akira Hasegawa i Kunioki Mima, és una equació que descriu un cert règim de plasma, a on les escales de temps són molt ràpides i l'escala de distància en la direcció del camp magnètic és llarga. En particular, l'equació és útil per a descriure la turbulència en alguns tokamaks. L'equació va ser introduïda en el treball de Hasegawa i Mima presentat en 1977 a la Physics of Fluids, a on ho varen comparar en els resultats del tokamak ATC.

Hipòtesis

Les hipòtesis que fan els autors per a deduir la seua equació són les següents:

• El camp magnètic és lo suficientment gran per a que:

$\frac{1}{{\omega }_{ci}}\frac{\partial }{\partial t}\ll 1$

per a totes les cantitats d'interés. Quan les partícules en el plasma es mouen a través d'un camp magnètic, giren en círcul al voltant del camp magnètic. La freqüència, l'estil de visualisació, conegut com la freqüència ciclotrónica o girofrecuencia, és directament proporcional al camp magnètic.

• La densitat de partícules seguix la condició de cuasi neutralitat:

$n_e\approx Z{n}_i$

a on Z és el número de protones en els ions. Si estem parlant d'hidrogen Z = 1, i n és el mateix per a abdós espècies. Esta condició és certa sempre i quan els electrons puguen protegir els camps elèctrics. Un núvol d'electrons rodejarà qualsevol càrrega en un radi aproximat conegut com Debye length. Per eixa raó, esta aproximació significa que l'escala de tamany és molt major que la llongitut de Debye. La densitat de partícules de ions pot ser expressada per un terme de primer orde que és la densitat definida per l'equació de condició de cuasi-neutralitat, i un terme de segon orde que és quànt diferix de l'equació.

• La densitat de partícules de ions de primer orde és una funció de la posició, pero no del temps. Açò significa que els destorbament de la densitat de partícules canvien a una escala de temps molt més llenta que l'escala d'interés. La densitat de partícules de segon orde que causa una densitat de càrrega i per lo tant un potencial elèctric pot canviar en el temps.
• El camp magnètic, "B" deu ser uniforme en l'espai, i no una funció del temps. El camp magnètic també es mou a una escala de temps molt més llenta que l'escala d'interés. Açò permet que la derivada de temps en l'equació d'equilibri de moment siga descuidada.
• La temperatura del ion deu ser molt menor que la temperatura de l'electró. Açò significa que la pressió iònica pot ser descuidada en l'equació d'equilibri de moment iònic.
• Els electrons seguixen un distribució de Boltzmann a on:

$n=n_0{e}^{e\varphi /T_e}$

lloc que els electrons són lliures de moure's a lo llarc de la direcció del camp magnètic, protegixen els potencials elèctrics. Este apantallamiento provoca la formació d'una distribució d'electrons de Boltzmann al voltant dels potencials elèctrics.

L'equació

L'equació de Hasegawa-Mima és una equació diferencial parcial no llineal de segon orde que descriu el potencial elèctric. La forma de l'equació és:

$\frac{\partial }{\partial t}({\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi )-[(\mathrm{\nabla }\varphi \times \widehat{𝐳})\cdot \mathrm{\nabla }][{\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\ln \left(\frac{n_0}{{\omega }_{ci}}\right)]=0.$

Encara que la condició de casi neutralitat es manté, les chicotetes diferències de densitat entre els electrons i els ions causen un potencial elèctric. L'equació de Hasegawa-Mima es deriva de l'equació de continuïtat:

$\frac{\partial n}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (n𝐯)=0.$

La velocitat del decorregut pot ser aproximada per la deriva d'I x B:

${𝐯}_{𝐄}=\frac{𝐄\times 𝐁}{c{B}^2}=\frac{-\mathrm{\nabla }\varphi \times \widehat{𝐳}}{cB}.$

Els models anteriors varen derivar les seues equacions d'esta aproximació. La divergència de la derivada creuada d'I x B és zero, lo que manté el decorregut incompresible. No obstant, la compresibilidad del decorregut és molt important per a descriure l'evolució del sistema. Hasegawa i Mima varen argumentar que la suposició era inválida. L'equació de Hasegawa-Mima introduïx un terme de segon orde per a la velocitat del decorregut conegut com deriva de polarisació per a trobar la divergència de la velocitat del decorregut. Per la suposició d'un gran camp magnètic, la deriva de polarisació és molt menor que la deriva creuada d'I x B. No obstant, introduïx una teoria física important.

Per a un decorregut incompresible bidimensional que no és un plasma, les equacions de Navier-Stokes queden de la següent forma:

$\frac{\partial }{\partial t}\left({\mathrm{\nabla }}^2\psi \right)-[(\mathrm{\nabla }\psi \times \widehat{𝐳})\cdot \mathrm{\nabla }]{\mathrm{\nabla }}^2\psi =0$

despuix de prendre el rull de l'equació d'equilibri de moments. Esta equació és casi idèntica a l'equació de Hasegawa-Mima excepto que el segon i quart térmens han desaparegut, i el potencial elèctric és reemplaçat pel potencial vectorial de velocitat del decorregut a on:

$𝐯=-\mathrm{\nabla }\psi \times \widehat{𝐳}.$

Els térmens primer i tercer de l'equació de Hasegawa-Mima, que són els mateixos que l'equació de Navier Stokes, són els térmens introduïts per l'adició de la deriva de polarisació. En el llímit a on la llongitut d'ona d'un destorbament del potencial elèctric és molt menor que el giroradio basat en la velocitat del sò, les equacions de Hasegawa-Mima es tornen les mateixes que les del decorregut incompresible bidimensional.