Equació de Taylor-Goldstein

La equació de Taylor-Goldstein és una equació diferencial ordinària utilisada en els camps de la dinàmica de decorreguts geofísicos i, més generalment, en la dinàmica de decorreguts en presència de fluix cuasi-2D. Descriu la dinàmica de l'inestabilitat de Kelvin-Helmholtz, subjecta a les forces de flotació, per eixemple, la gravetat, per a decorreguts estratificados de forma estable en el llímit sense malbarat. Més generalment, la dinàmica de les ones internes en presència d'una estratificació contínua de la densitat i del fluix de cisallament. L'equació de Taylor-Goldstein es deriva de les equacions de Euler en dos dimensions, usant l'aproximació de Boussinesq.

L'equació du el nom de G.I. Taylor i S. Goldstein, els qui varen derivar l'equació independentment un de l'atre en 1931. La tercera derivació independent, també en 1931, va ser feta per B. Haurwitz.

Formulació

Archiu:OSschematic.svg

Un diagrama esquemàtic de l'estat base del sistema. El fluix baix investigació representa un chicotet destorbament llunt d'este estat. Mentres que l'estat base és paralel, la velocitat de destorbament té components en abdós direccions

L'equació s'obté resolent una versió llineal issada de les equacions de Navier-Stokes, en presència de la gravetat $g$ i un gradient de densitat mija (en gradient-llongitut $L_{\rho }$), per al camp de velocitat de destorbament.

$𝐮=[U(z)+u^{\prime }(x,z,t),0,w^{\prime }(x,z,t)],$

a on $(U(z),0,0)$ és el fluix imperturbable o bàsic. La velocitat de destorbament té una solució similar a la d'ona ${𝐮}^{\prime }\propto \exp (i\alpha (x-ct))$. Usant este coneiximent, i la representació de la funció contínua per al fluix ${u_x}^{\prime }=d=tilde\varphi /dz,{u_z}^{\prime }=-i\alpha \tilde{\varphi }$, s'obté la següent forma dimensional de l'equació de Taylor-Goldstein:

$(U-c{)}^2(\frac{d^2\tilde{\varphi }}{d{z}^2}-{\alpha }^2\tilde{\varphi })+[N^2-(U-c)\frac{d^{2}U}{d{z}^2}]\tilde{\varphi }=0,$

a on $N=\sqrt{\frac{g}{L_{\rho }}}$ expressa la freqüència de Brunt-Väisälä. El paràmetro valor propi del problema és $c$. Si la part imaginària de la velocitat de fase és positiva, llavors el fluix és inestable, i el chicotet destorbament introduït en el sistema s'amplifica en el temps.

Note's que en un número imaginario la freqüència de Brunt-Väisälä $N$ dona com resultat un fluix sempre inestable. Esta inestabilitat es coneix com inestabilitat de Rayleigh-Taylor.

Condicions de contorn antideslizante

Les condicions de contorn rellevants són, en el cas de les condicions de contorn antideslizante en la part superior i inferior del canal $z=z_1$ i $z=z_2:$.

$\alpha \tilde{\varphi }=\frac{d\tilde{\varphi }}{dz}=0\text{ en }z=z_1\text{ y }z=z_2.$

Bibliografia

• (1988).«Wave interactions and fluïu flows».Cambridge University Press.