Freqüència de Brunt-Väisälä

En dinàmica atmosfèrica, oceanografia, astrosismología i geofísica, la freqüència de Brunt-Väisälä, o freqüència de flotació', és una mida de l'estabilitat d'un decorregut davant desplaçaments verticals com els causats per la convecció. Més concretament, és la freqüència en la que una parcela desplaçada verticalment oscilarà dins d'un entorn estáticamente estable. Rep el seu nom de David Brunt i Vilho Väisälä. Pot utilisar-se com a mida de l'estratificació atmosfèrica.

Derivació per a un decorregut general

Considerem una parcela d'aigua o gas que té densitat $ρ_{0}$ . Esta parcela es troba en un entorn d'atres partícules d'aigua o gas a on la densitat de l'entorn és una funció de l'altura: $ρ = ρ (z)$ . Si la parcela es desplaça un chicotet increment vertical $z^{'}$ , i manté la seua densitat original, per lo que el seu volum no canvia, estarà somesa a una força gravitatoria extra contra el seu entorn de:

ρ_{0} \frac{\partial^{2} z^{'}}{\partial t^{2}} = - g [ρ (z) - ρ (z + z^{'})]

a on $g$ és l'acceleració gravitatoria, i es definix com a positiva. Fem una aproximació llineal a $ρ (z + z^{'}) - ρ (z) = \frac{\partial ρ (z)}{\partial z} z^{'}$ , i substituint $ρ_{0}$ per el RHS:

\frac{\partial^{2} z^{'}}{\partial t^{2}} = \frac{g}{ρ_{0}} \frac{\partial ρ (z)}{\partial z} z^{'}

L'anterior equació diferencial de segon orde té solucions directes de:

z^{'} = z'_{0} e^{i \sqrt{N^{2}} t}

a on la freqüència de Brunt-Väisälä $N$ és:^[1]

N = \sqrt{- \frac{g}{ρ_{0}} \frac{\partial ρ (z)}{\partial z}}

Per a valors negatius de $\frac{\partial ρ (z)}{\partial z}$ , el desplaçament $z^{'}$ té solucions oscilantes (i N dona la nostra freqüència angular). Si és positiu, llavors hi ha un creiximent de fuga, és dir, el decorregut és estáticamente inestable.

En meteorologia i astrofísica

Per a una bombeta de gas, la densitat només permaneixerà fixa com se supon en la derivació anterior si la pressió, $P$ , és constant en l'altura, lo que no és cert en una atmòsfera confinada per la gravetat. En canvi, la parcela s'expandirà adiabáticamente a mida que la pressió disminuïxca. Per lo tant, una formulació més general utilisada en meteorologia és:

N \equiv \sqrt{\frac{g}{θ} \frac{d θ}{d z}}

, a on

θ

és la temperatura potencial,

g

és l'acceleració local de la gravetat, i

z

és l' altura geomètrica.^[2]

ya que $θ = T (P_{0} / P)^{R / c_{P}}$ , a on $P_{0}$ és una pressió de referència constant, per a un gas perfecte esta expressió és equivalent a:

N^{2} \equiv g {\frac{1}{T} \frac{d T}{d z} - \frac{R}{c_{P}} \frac{1}{P} \frac{d P}{d z}} = g {\frac{1}{T} \frac{d T}{d z} - \frac{γ - 1}{γ} \frac{1}{P} \frac{d P}{d z}}

,

a on en l'última forma $γ = c_{P} / c_{V}$ , és l' índex adiabàtic. Utilisant la llei dels gasos ideals, podem eliminar la temperatura per a expressar $N^{2}$ en térmens de pressió i densitat:

N^{2} \equiv g {\frac{1}{γ} \frac{1}{P} \frac{d P}{d z} - \frac{1}{ρ} \frac{d ρ}{d z}} = g {\frac{1}{γ} \frac{d \ln P}{d z} - \frac{d \ln ρ}{d z}}

.

Esta versió és de fet més general que la primera, ya que s'aplica quan la composició química del gas varia en l'altura, i també per als gasos imperfectes en índex adiabàtic variable, en el cas del qual $γ \equiv γ_{01} = (\partial \ln P / \partial \ln ρ)_{S}$ , és dir, la derivada es pren a entropía constant, $S$ .^[3]

Si s'espenta una bombeta de gas cap a dalt i $N^{2} > 0$ , la parcela d'aire es mourà cap a dalt i cap a avall al voltant de l'altura en la que la densitat de la parcela coincidixca en la densitat de l'aire circumdant. Si el paquet d'aire és espentat cap a dalt i $N^{2} = 0$ , el paquet d'aire no es mourà més. Si la parcela d'aire és espentada cap a dalt i $N^{2} < 0$ , (és dir, la freqüència de Brunt-Väisälä és imaginària), llavors la parcela d'aire pujarà i pujarà a menos que $N^{2}$ torne a ser positiu o zero més dalt en l'atmòsfera. En la pràctica, açò conduïx a la convecció i, per tant, el criteri de Schwarzschild per a l'estabilitat front a la convecció (o el Criteri de Ledoux si hi ha estratificació composicional) és equivalent a l'afirmació de que $N^{2}$ deu ser positiu.

La freqüència de Brunt-Väisälä apareix comunament en les equacions termodinàmiques de l'atmòsfera i en l'estructura de les estreles.

Vore també

Referències

↑ Vallis, Geoffrey K.. Atmospheric and oceanic fluïu dynamics: fundamentals and large-scale circulation, 2nd edició, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781107588417. OCLC 990033511. ISBN 9781107588417.
↑ Emmanuel, K.A. (1994). Atmospheric Convection, Oxford University Press. doi:10.1002/joc.3370150709. ISBN 0195066308.
↑ (2014).«Lecture Notes on Stellar Oscillations».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Frecuencia de Brunt-Väisälä» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Vallis, Geoffrey K.. Atmospheric and oceanic fluïu dynamics: fundamentals and large-scale circulation, 2nd edició, Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781107588417. OCLC 990033511. ISBN 9781107588417.

[2] Emmanuel, K.A. (1994). Atmospheric Convection, Oxford University Press. doi:10.1002/joc.3370150709. ISBN 0195066308.

[3] (2014).«Lecture Notes on Stellar Oscillations».

[1]

[2]

[3]