Equació del moment de Cauchy

La equació del moment de Cauchy és una equació diferencial parcial en funció d'una variable vectorial proposta per Augustin Louis Cauchy, que descriu el transport no relativiste de moment en qualsevol mig continu. En forma convectiva (o Lagrangiana) és descrita per l'equació:

$\frac{D𝐮}{Dt}=\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+𝐠$

a on: ρ és la densitat en el punt considerat en el mig continu (en el qual es manté l'equació de continuïtat), σ és el tensor, i g representa la força aplicada sobre el cos per unitat de massa (en ocasions simplement l'acceleració gravitacional). Mentres que o és la velocitat de fluix en el camp del vector, esta depén del temps i espai.

Despuix d'un canvi de variables, també es pot expressar en forma de l'equació de conservació (també coneguda com Euleriana):

$\frac{\partial 𝐣}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=𝐬$

A on j és el fluix associat a la massa en un punt donat del espai-temps, F és el fluix associat en la densitat del moment, i s es referix a totes les forces contingudes sobre un cos per unitat de volum.

Deducció

Aplicant la segona llei de Newton a un volum de control en el mig continu que s'està modelant:

$m{a}_i=F_i$

i basant-se en el teorema de transport de Reynolds i en la notació de derivada:

$\begin{array}{cc}\underset{\Omega }{\int }\rho \frac{D{u}_i}{Dt}dV& amp;=\underset{\Omega }{\int }{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^{j}dV+\underset{\Omega }{\int }\rho g_{i}dV\\ \underset{\Omega }{\int }(\rho \frac{D{u}_i}{Dt}-{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j-\rho g_i)dV& amp;=0\\ \rho \frac{D{u}_i}{Dt}-{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j-\rho g_i& amp;=0\\ \frac{D{u}_i}{Dt}-\frac{{\mathrm{\nabla }}_j{\sigma }_i^j}{\rho }-g_i& amp;=0\end{array}$

a on Ω representa el control de volum. Ya que esta equació deu ser vàlida per a qualsevol volum de control, l'integrant deu ser zero, a partir de l'equació del moment de Cauchy. El primer pas per a derivar esta equació és establir que la derivada del tensor de tensió és una de les forces que constituïxen.

Equació de conservació

Vore també: Llei de conservació

Les equacions de Cauchy també es poden representar de la següent manera:

definint:

$\begin{array}{c}𝐣=\rho 𝐮\\ 𝐅=\rho 𝐮\otimes 𝐮-𝝈\\ 𝐬=\rho 𝐠\end{array}$

a on j és el fluix associat a la massa per al punt considerat en el mig continu, (el qual seguix l'equació de continuïtat) F és el fluix associat en la densitat del moment, i s representa totes les forces que actuen sobre un cos per unitat de volum. o ⊗ o és el producte tensorial de la velocitat.

Ací j i s tenen el mateix número de dimensions N que la velocitat de fluix i l'acceleració del cos, mentres que F, en ser un tensor, té N².

En les formes de Euler , és evident que la suposició de que no hi ha tensió desviadora du les equacions de Cauchy a les equacions de Euler.