Equacions cuasi-geostróficas

Mentres que el moviment geostrófico es referix al vent que resultaria d'un equilibri exacte entre la força de Coriolis i les forces de gradient de pressió horisontals, el moviment cuasi-geostrófico (QG) es referix a fluix a on la força de Coriolis i les forces de gradient de pressió estan casi en equilibri, pero en l'inèrcia també tenint un efecte.

Orige

Els fluix atmosfèrics i oceanogràfics tenen lloc en escales de llongitut horisontal que són molt grans en comparació a la seua escala de llongitut vertical, per lo que poden descriure's utilisant les equacions d'aigües poc profundes. El número de Rossby és un número adimensional que caracterisa la força de l'inèrcia en comparació a la força de la força de Coriolis. Les equacions cuasi-geostróficas són aproximacions a les equacions d'aigües poc profundes en el llímit del chicotet número de Rossby, de modo que les forces d'inèrcia són un orde de magnitut més chicotetes que les forces de Coriolis i de pressió. Si el número de Rossby és igual a zero, recuperem el fluix geostrófico.

Les equacions cuasi-geostróficas varen ser formulades per primera volta per Jule Charney.

Derivació de les equacions QG d'una sola capa

Plantilla:Traducció incompleta En coordenades cartesianas, els components del vent geostrófico són:

$f_0{v}_g=\frac{\partial \Phi }{\partial x}$ (1a)

$f_0{u}_g=-\frac{\partial \Phi }{\partial y}$ (1b)

on $\Phi$ és el geopotencial.

La vorticidad geostrófica:

${\zeta }_g=\widehat{𝐤}\cdot \mathrm{\nabla }\times {𝐕}_{𝐠}$

per tant, és possible expressar-la en térmens de geopotencial en:

${\zeta }_g=\frac{\partial v_g}{\partial x}-\frac{\partial u_g}{\partial y}=\frac{1}{f_0}\left(\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial y^2}\right)=\frac{1}{f_0}{\mathrm{\nabla }}^2\Phi$ (2)

L'equació (2) és pot utilitzar per trobar ${\zeta }_g(x,y)$ a partir d'un camp conegut $\Phi (x,y)$. Alternativament, també és pot utilitzar per determinar $\Phi$ a partir d'una distribució coneguda de ${\zeta }_g$ invertint l'operador laplacià.

L'equació de vorticitat quasigeostròfica és pot obtenir a partir dels components $x$ i $y$ de l'equació del moment quasi geostròfic que després és pot derivar de l'equació del moment horitzontal

$\frac{D𝐕}{Dt}+f\widehat{𝐤}\times 𝐕=-\mathrm{\nabla }\Phi$ (3)

La derivada material a (3) és defineix per

$\frac{D}{Dt}={\left(\frac{\partial }{\partial t}\right)}_p+{\left(𝐕\cdot \mathrm{\nabla }\right)}_p+\omega \frac{\partial }{\partial p}$ (4)

on $\omega =\frac{Dp}{Dt}$ és el canvi de pressió després del moviment.

La velocitat horitzontal $𝐕$ és pot separar en una geostròfica ${𝐕}_{𝐠}$ i una ageostròfica ${𝐕}_{𝐚}$ part

$𝐕={𝐕}_{𝐠}+{𝐕}_{𝐚}$ (5)

Dues hipòtesis importants de l'aproximació quasigeostròfica són

1. ${𝐕}_{𝐠}\gg {𝐕}_{𝐚}$, o, més precisament $\frac{|{𝐕}_{𝐚}|}{|{𝐕}_{𝐠}|}\sim O(\text{Rossby number})$.

2. l'aproximació del pla beta $f=f_0+\beta y$ with $\frac{\beta y}{f_0}\sim O(\text{Nombre de Rossby})$

La segona hipòtesi justifica deixar que el paràmetre de Coriolis tingui un valor constant $f_0$ en l'aproximació geostròfica i aproximant la seva variació en el terme de força de Coriolis mitjançant $f_0+\beta y$. Tanmateix, com que l'acceleració que segueix el moviment, que és dóna a (1) com a diferència entre la força de Coriolis i la força del gradient de pressió, depèn de la sortida del vent real del vent geostròfic, no és permissible simplement substituir el velocitat per la seva velocitat geostròfica en el terme de Coriolis. L'acceleració a (3) és pot reescriure com a

$f\widehat{𝐤}\times 𝐕+\mathrm{\nabla }\Phi =(f_0+\beta y)\widehat{𝐤}\times ({𝐕}_{𝐠}+{𝐕}_{𝐚})-f_0\widehat{𝐤}\times {𝐕}_{𝐠}=f_0\widehat{𝐤}\times {𝐕}_{𝐚}+\beta y\widehat{𝐤}\times {𝐕}_{𝐠}$ (6)

Per tant, l'equació del moment horitzontal aproximat té la forma

$\frac{D_g{𝐕}_{𝐠}}{Dt}=-f_0\widehat{𝐤}\times {𝐕}_{𝐚}-\beta y\widehat{𝐤}\times {𝐕}_{𝐠}$ (7)

Expressant l'equació (7) en termes dels seus components,

$\frac{D_g{u}_g}{Dt}-f_0{v}_a-\beta y{v}_g=0$ (8a)

$\frac{D_g{v}_g}{Dt}+f_0{u}_a+\beta y{u}_g=0$ (8b)

Prenent $\frac{\partial (8b)}{\partial x}-\frac{\partial (8a)}{\partial y}$, i observant que el vent geostròfic no és divergent (és a dir, $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕=0$), l'equació de vorticitat és

$\frac{D_g{\zeta }_g}{Dt}=-f_0\left(\frac{\partial u_a}{\partial x}+\frac{\partial v_a}{\partial y}\right)-\beta v_g$ (9)

Perquè $f$ només depèn de $y$ (és a dir, $\frac{D_{g}f}{Dt}={𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }f=\beta v_g$) i que la divergència del vent ageostròfic és pot escriure en termes de $\omega$ a partir de l'equació de continuïtat

$\frac{\partial u_a}{\partial x}+\frac{\partial v_a}{\partial y}+\frac{\partial \omega }{\partial p}=0$

per tant, l'equació (9) és pot escriure com

$\frac{\partial {\zeta }_g}{\partial t}=-{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }({\zeta }_g+f)-f_0\frac{\partial \omega }{\partial p}$ (10)

La mateixa identitat usant el geopotencial

Definint la tendència geopotencial $\chi =\frac{\partial \Phi }{\partial t}$ i observant que la diferenciació parcial és pot invertir, l'equació (10) és pot reescriure en termes de $\chi$ com

$\frac{1}{f_0}{\mathrm{\nabla }}^2\chi =-{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{f_0}{\mathrm{\nabla }}^2\Phi +f\right)+f_0\frac{\partial \omega }{\partial p}$ (11)

El costat dret de l'equació (11) depèn dels variables $\Phi$ i $\omega$. A partir de l'equació de l'energia termodinàmica és pot derivar una equació anàloga depenent d'aquestes dues variables

$\left(\frac{\partial }{\partial t}+{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\right)\left(\frac{-\partial \Phi }{\partial p}\right)-\sigma \omega =\frac{kJ}{p}$ (12)

on $\sigma =\frac{-R{T}_0}{p}\frac{d\log {\Theta }_0}{dp}$ i ${\Theta }_0$ és la temperatura potencial corresponent a la temperatura de l'estat bàsic. A la troposfera mitjana, ${\Theta }_0$ ≈ $2.5\times 10^{-6}\mathrm{m}{}^2{\mathrm{P}\mathrm{a}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$.

Multiplicant (12) per $\frac{f_0}{\sigma }$ i diferenciant respecte a $p$ i utilitzant la definició de $\chi$ s'obté

$\frac{\partial }{\partial p}\left(\frac{f_0}{\sigma }\frac{\partial \chi }{\partial p}\right)=-\frac{\partial }{\partial p}\left(\frac{f_0}{\sigma }{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial \Phi }{\partial p}\right)-f_0\frac{\partial \omega }{\partial p}-f_0\frac{\partial }{\partial p}\left(\frac{kJ}{\sigma p}\right)$ (13)

Si, per simplificar, $J$ és va establir a 0, eliminant $\omega$ als equacions (11) i (13) és produiria

$\left({\mathrm{\nabla }}^2+\frac{\partial }{\partial p}\left(\frac{f_0^2}{\sigma }\frac{\partial }{\partial p}\right)\right)\chi =-f_0{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{f_0}{\mathrm{\nabla }}^2\Phi +f\right)-\frac{\partial }{\partial p}\left(-\frac{f_0^2}{\sigma }{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \Phi }{\partial p}\right)\right)$ (14)

L'equació (14) sovint s'anomena equació de tendència del geopotencial. Relaciona la tendència geopotencial local (terme A) amb la distribució d'advecció de vorticitat (terme B) i l'advecció de gruix (terme C).

La mateixa identitat usant la vorticidad potencial cuasi-geostrófica

Utilitzant la regla de diferenciació de la cadena, el terme C és pot escriure com

$-{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial }{\partial p}\left(\frac{f_0^2}{\sigma }\frac{\partial \Phi }{\partial p}\right)-\frac{f_0^2}{\sigma }\frac{\partial {𝐕}_{𝐠}}{\partial p}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial \Phi }{\partial p}$ (15)

Però a partir de la relació del vent tèrmic,

$f_0\frac{\partial {𝐕}_{𝐠}}{\partial p}=\widehat{𝐤}\times \mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \Phi }{\partial p}\right)$.

En altres paraules,$\frac{\partial {𝐕}_{𝐠}}{\partial p}$ is perpendicular to $\mathrm{\nabla }(\frac{\partial \Phi }{\partial p})$ i el segon terme de l'equació (15) desapareix.

El primer terme és pot combinar amb el terme B de l'equació (14) que, després de la divisió per $f_0$, és pot expressar en forma d'una equació de conservació

$\left(\frac{\partial }{\partial t}+{𝐕}_{𝐠}\cdot \mathrm{\nabla }\right)q=\frac{D_{g}q}{Dt}=0$ (16)

on $q$ és la vorticitat potencial quasigeostròfica definida per

$q=\frac{1}{f_0}{\mathrm{\nabla }}^2\Phi +f+\frac{\partial }{\partial p}\left(\frac{f_0}{\sigma }\frac{\partial \Phi }{\partial p}\right)$ (17)

Els tres termes de l'equació (17) són, d'esquerra a dreta, la vorticitat relativa geostròfica, la vorticitat planetària i la vorticitat d'estirament.