Esfera de Ewald

La esfera de Ewald és una construcció geomètrica usada en la descripció teòrica de la difracció per un cristal. A partir d'ella es poden determinar gràficament els punts de la ret recíproca que donen lloc a difracció en una direcció determinada. L'esfera de Ewald du el nom de Paul Ewald (1888-1985), físic alemà pioner en l'estudi de la difracció de rajos X, qui es referia a ella com a «esfera de difracció».

Construcció general de l'esfera de Ewald

Archiu:Ewald Sphere.svg

Construcció general de l'esfera de Ewald

En el cas més simple, consistent en un fes monocromàtic incident sobre un cristal estacionario, es pot descriure al fes pel seu vector d'ona, generalment denominat ${𝐤}_i$ la direcció de la qual i llongitut vénen donades per les condicions de l'experiment. En principi, la radiació pot ser dispersada pel cristal en qualsevol direcció, sempre que la seua energia siga idèntica a la del fes incident (hipòtesis de la dispersió elàstica ). Gràficament, el vector d'ona corresponent al fes dispersat ${𝐤}_f$ tindrà la mateixa llongitut que el vector del fes incident. Per a determinar els ànguls $\theta$ als que es pot observar difracció, es definix el vector de dispersió $\Delta 𝐤$ com la diferència entre els vectores d'ona incident i dispersat ${𝐤}_f-{𝐤}_i$. L'esfera de Ewald és l'esfera definida pels extrems del vector $\Delta 𝐤$ per a totes les possibles direccions del fes dispersat. Esta esfera conté l'orige de la ret recíproca i la seua ràdio és $2\pi /\lambda$, a on $\lambda$ és la llongitut d'ona del fes.

Es pot demostrar que solament es dona difracció, és dir, l'interferència constructiva de fas dispersats pel cristal, si l'extrem de $\Delta 𝐤$ coincidix en un punt de la ret recíproca, lo que es coneix com la «condició de Laue» . Gràficament, les famílies de plans cristalins que difractan el fes incident, corresponen als punts de la ret recíproca que es troben en la superfície de l'esfera de Ewald. En el llímit de llongituts d'ona llargues, el radi de l'esfera de Ewald devé massa reduït per a intersecarse en la ret recíproca, la qual cosa ilustra que és necessari treballar en llongituts d'ona de l'orde de la distància interatómica per a obtindre un patró de difracció.

Construcció de Ewald per a experiments particulars

La construcció general presentada anteriorment no s'aplica directament als experiment de difracció reals, perque per a un cristal fix i una sola llongitut d'ona hi ha molt pocs punts de la ret recíproca sobre l'esfera de Ewald i estes condicions no proporcionen suficient informació sobre la ret cristalina. En la pràctica, és necessari variar, a ser possible de forma contínua, un dels paràmetros de l'experiment. És possible variar la llongitut d'ona o l'orientació del cristal en les modificacions que això comporta per a la construcció de Ewald.

Difracció per rotació del cristal

Archiu:Diffraction sphere de resolution.png

Esfera llímit de difracció

Com el seu nom indica, este tipo d'experiment consistix en rotar el cristal al voltant d'un dels seus eixos. La ret recíproca es pot visualisar com un conjunt de círculs en plans perpendiculars a l'eix de rotació. L'esfera de Ewald permaneix fixa, pero es interseca en varis círculs successivament, fins a obtindre difracció dels plans de la ret cristalina els punts equivalents de la qual en la ret recíproca es troben dins d'una esfera de radi $4\pi /\lambda$, denominada «esfera llímit».

Difracció de pols o Debye-Scherrer

En este experiment, es fa incidir un fes monocromàtic sobre una pols composta de múltiples cristals microscòpics en orientacions aleatòries. En el cas ideal, totes les orientacions possibles es troben presents i són estadísticament equivalents. En este cas, la ret recíproca consistix en un conjunt de círculs generats per totes les rets recíproques en diverses orientacions. L'esfera de Ewald permaneix fixa.

Difracció pel método Laue

El método de Laue fa indicir un fes de llum policromático sobre un únic cristal fix. La ret recíproca correspon a la construcció general. En contrast, l'esfera de Ewald es convertix en un conjunt d'esferes el radi de les quals varia contínuament entre un valor mínims i màxim daus per les llongituts d'ona incloses en el fes.

Difracció d'electrons en un microscopi electrònic de transmissió

Archiu:Tant- caps block 2 .jpg

Difracció per un òxit de tàntal observat en un MET

En el llímit de llongituts d'ona curtes, el radi de l'esfera de Ewald és tan gran que s'aproxima a un pla, que pot ser intersecado de forma simultànea per un pla sancer de punts de la ret recíproca. En este cas, es parla de «difracció múltiple». Esta condició es dona freqüentment en la difracció d'electrons per un cristal en un microscopi electrònic de transmissió o MET. L'image resultant és una representació poc distorsionada de la ret recíproca.