Espai localment convexo

En anàlisis funcional i en àrees relatives a les matemàtiques, espais vectorials topològics localment convexos o espais localment convexos són eixemples d'espais vectorials topològics els quals generalisen els espais normados. Poden ser definits com a espais vectorials topològics la topología dels quals és generada per transformacions d'equilibri, absorbents, conjunts convexos. Paralelament, poden ser definits com un espai vectorial en una família de seminormas i una topología pot ser definida en térmens d'eixa família. Encara que en general tals espais no són necessàriament normables, l'existència d'una base localment convexa per al vector zero és lo suficientment fort per a sustentar el teorema de Hahn-Banach, produint aixina una teoria lo suficientment rica de funcionals llineals continus.

Els espais de Fréchet són espais localment convexos que estan dotats d'una mètrica i són complets respecte a esta mètrica. Són generalisacions dels espais de Banach, que a la seua volta són espais vectorials complets sobre una norma.

Definició

Suponga que V és un espai vectorial sobre K, un subcuerpo dels número complejo (normalment C o R). Un espai localment convexo és definit be siga en térmens de conjunts convexos o equivalentemente en térmens de seminorma.

Conjunts Convexos

Un subconjunt C en V es diu

1. Convexo si per a cada x i i en C, tx+(1–t) i esta en C per a tot t en l'interval unitari, tal que 0 ≤ t ≤ 1. En atres paraules, C conté tots els segments de llínea entre qualssevol dos punts en C.
2. Redonejat si para tot x en C, λx està en C si |λ|=1. Si el cos subjacent K són els número real, lo que significa que C és igual a la seua reflexió a través de l'orige. Per a un espai vectorial complex B açò significa que per a qualsevol x en C, C conté la circumferència que passa per x, centrada en l'orige, en el subespacio unidimensional complex generat per x.
3. Un Con (quan els cossos subjacents estan ordenats) si para tot x en C i 0 ≤ λ ≤ 1, λx està en C.
4. Equilibrat si para tot x en C, λxestà en C si |λ| ≤ 1. Si el cos subjacent K són els número real, esta significa que si x està en C, C conté el segment de llínea entre x i -x. Per a un espai vectorial complex V, açò significa que per a algun x en C, C conté el disc en x en la seua frontera, centrat en l'orige, en l'espai unidimensional generat per x. Equivalentement, un conjunt equilibrat és un con redonejat.
5. Absorbent si l'unió de tC sobretot t > 0, pertany tot a V, o equivalentemente para tot x en V, tx està en C per a algun t > 0. El conjunt C pot ser ampliat a absorbir qualsevol punt en l'espai.
6. Absolutament convexo si és al mateix temps equilibrat i convexo.

Un espai vectorial topològic localment convexo és un espai vectorial topològic en el qual l'orige té una base local de conjunts absorbents i absolutament convexos. Degut a que la translació és (per definició d'espai vectorial topològic) contínua, totes les translacions són homeomorfismes, per tant tota base per als veïnats de l'orige pot ser traslladada a una base per als veïnats de qualsevol vector donat.

Seminormas

Una seminorma en V és una funció p : V → R tal que:

1. p és positiva o semidefinida positiva:p(x) ≥ 0.
2. p és homogéneamente positiva o escaladamente positiva: p(λx) = |λ| p(x) para tot escalar λ. Llavors en particular, p(0) = 0.
3. p és subaditivo. Satisfà la desigualtat triangular: p(x + i) ≤ p(x) + p(i).

Si p és estrictament positiva, establix que si p(x) = 0 llavors x = 0, després p és una norma. Mentres que en general, les seminormas no necessàriament són normes, existix una analogia d'este criteri per a famílies de seminormas, separadament, definida a continuació.

Un espai locamente convexo està llavors definit com un espai vectorial V de seminormas {p_α}_α ∈ A en V. L'espai conté una topología natural, la topología inicial de les seminormas. En atres paraules és la topología més forta per a la qual totes les funciones x → p_α(x−x₀), x₀ ∈ V, α ∈ A, són contínues. Una base de veïnats de x₀ per a eixa topología és obtinguda de la següent forma: per a tot subconjunt finito B de A i tot ε > 0, siga

$U_{B,\epsilon }(x_0)=\{x\in V:p_{\alpha }(x-x_0)<\epsilon ,\alpha \in B\}.$

Les operacions de l'espai vectorial són contínues en esta topología, seguint les propietats dos i tres mencionades anteriorment. El resultant espai vectorial topològic és localment convexo degut a que cada membre de la família generadora és convexo.

Espais abstractes

Atres espais abstractes, relacionats.

Referències

• Conway, John (1990). A Course in Functional Analysis, Springer. ISBN 03-87-97245-5.
• Rudin, Walter (giner de 1991). Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8.