Fòrmula de Faulhaber

En Matemàtiques, la fòrmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expressa la suma de les potències dels primers n número natural

$\sum _{k=1}^n{k}^p=1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$

com un polinomi en n de grau $(p+1)$ els coeficients del qual es construïxen a partir dels números de Bernoulli: $B_j$.

La fòrmula és la següent:

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\frac{1}{p+1}\sum _{j=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+1}{j})B_j{n}^{p+1-j}(\text{con }{B}_1=+\frac{1}{2}\text{ en vez de }-\frac{1}{2})$

Faulhaber no va conéixer mai esta fòrmula general; lo que sí va conéixer varen ser a lo manco els primers 17 casos i el fet de que, si l'exponent és impar, llavors la suma és una funció polinomial de la suma en el cas especial en el que l'exponent siga 1. També va fer algunes generalisacions (vore Knuth).

La demostració de la fòrmula de Faulhaber es pot trobar en The Book of Numbers de John Horton Conway i Richard Guy.

Els primers casos

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n^2+n}{2}\right)}^2=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$

$1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$

$1^5+2^5+3^5+\cdots +n^5=\frac{2n^6+6n^5+5n^4-n^2}{12}$

$1^6+2^6+3^6+\cdots +n^6=\frac{6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n}{42}$

Forma alternativa

Si l'índex de suma de la série va des d'1 fins a $n-1$ en volta des d'1 fins a n, estes fòrmules es modifiquen de tal manera que l'únic canvi és que prenem $B_1=-1/2$ en lloc de +1/2 (és dir, en este cas en la fòrmula només intervenen números de Bernoulli); aixina, el segon terme de major orde en tots els resultats anteriors canvia el signe de suma pel de diferència.

Vore també

• Polinomis per a sumes de potències de progressions aritmètiques

Referències

• The Book of Numbers, John H. Conway, Richard Guy, Spring, 1998, ISBN 0-387-97993-X, page 107
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Eric Weisstein, Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-347-2, page 2331
• "Johann Faulhaber and Sums of Powers" per Donald Knuth

• MathWorld: urlname: FaulhabersFormula. Faulhaber's formula
• "Darinnen die miraculosische Inventiones zu donen höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Acadèmia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631.