Funció aditiva

Tradicionalment en matemàtica, una funció aditiva és una funció que preserva l'operació suma:

f(x + i) = f(x) + f(i)

para qualsevol de dos elements x i i en el domini. Aixina per eixemple, qualsevol transformació llineal és aditiva. Quan el domini són els número real, esta funció correspon a l'equació funcional de Cauchy.

En teoria de números, una funció aditiva és una funció aritmètica f(n) que va des dels sancers positius n tals que cada volta que a i b són coprimos, la funció del producte és la suma de les funcions.

f(a,b) = f(a) + f(b).

Note que qualsevol homomorfisme f entre grups abelianos és "aditiu" segons la primera definició. El restant d'este artícul es referix a les funcions aditivas usant esta segona definició de la teoria de números.

eixemple

La funció Ω associa en un sancer natural distint de zero n, el número en repetició (és dir, contant vàries voltes els factors múltiples) dels factors primers de n:

Ω(4) = 2 ;

Ω(24) = Ω(2³ ⋅ 3¹) = 3 + 1 = 4 ;

Ω(27) = 3 ;

Ω(144) = Ω(2⁴ ⋅ 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6 ;

Ω(2 000) = Ω(2⁴ ⋅ 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7 ;

Ω(2 001) = 3 ;

Ω(2 002) = 4 ;

Ω(2 003) = 1 ;

Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4  ;

Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;

Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

Funció completament aditiva

Una funció aditiva f(n) és completament aditiva o totalment aditiva si f(ab) = f(a) + f(b) es complix per a tots els sancers positius a i b, inclusivament aquells que no són coprimos.

Tota funció completament aditiva és aditiva, pero no viceversa.

Funcions multiplicativas

Artícul principal → Funció multiplicativa.

A partir de qualsevol funció aditiva f(n) és fàcil crear una funció multiplicativa relacionada g(n), utilisant la propietat de que quan a i b són coprimos es complix lo següent:

g(ab) = g(a) × g(b).

Un eixemple és la funció g(n) = 2^{f(n) − f(1)}.

Bibliografia

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)