Funció de Clausen

Archiu:Clausen2 4.svg

Gràfic de la funció de Clausen ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )$ (roig) i ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_4(\theta )$ (vert)

Archiu:Clausen function.png

Funció de Clausen

En matemàticas, la funció de Clausen, introduïda per Thomas Clausen en 1832, és una funció especial transcendental d'una sola variable.

Es pot expressar en la forma d'una integral definida, d'una série trigonométrica i a partir d'atres funcions especials. Està conectada íntimament en el polilogaritmo, l'integral de la tangente inversa, la funció poligamma, la funció zeta de Riemann, la funció eta de Dirichlet i la funció beta de Dirichlet.

La funció de Clausen d'orde 2, freqüentment referida com la «funció de Clausen», sent una de les seues moltes classes, ve donada per l'integral:

${\mathrm{Cl}}_2(\phi )=-\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\log |2\sin \frac{x}{2}|dx:$

En el ranc $0<\phi <2\pi$, la funció sen carix del signe de valor absolut per ser estrictament positiva, de manera que el símbol del valor absolut pot ometre's.

La funció de Clausen també es pot representar en série de Fourier:

${\mathrm{Cl}}_2(\phi )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\phi }{k^2}=\sin \phi +\frac{\sin 2\phi }{2^2}+\frac{\sin 3\phi }{3^2}+\frac{\sin 4\phi }{4^2}+\cdots$

Les funcions Clausen, com una classe de funcions, s'utilisen àmpliament en numeroses àrees d'investigació de la matemàtica moderna, sobretot en relació en l'evaluació de moltes classes d'integrals logarítmiques i polilogarítmicas, tant definides com indefinides. També tenen diverses aplicacions per al càlcul de séries hipergeométricas, sumes que impliquen l'inversa del coeficient binomial central, sumes de la funció poligamma i séries L de Dirichlet.

Propietats bàsiques

La funció de Clausen (d'orde 2) té zeros simples en tot (número entero) múltiple de $\pi ,$ ya que si $k\in \mathbb{Z}$ és un número entero, $\sin k\pi =0$:

${\mathrm{Cl}}_2(m\pi )=0,m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$

Té un màxim en: $\theta =\frac{\pi }{3}+2m\pi [m\in \mathbb{Z}]$

${\mathrm{Cl}}_2(\frac{\pi }{3}+2m\pi )=1.01494160\dots$

i un mínim en: $\theta =-\frac{\pi }{3}+2m\pi [m\in \mathbb{Z}]$

${\mathrm{Cl}}_2(-\frac{\pi }{3}+2m\pi )=-1.01494160\dots$

Les següents propietats són conseqüència immediata de la definició de série:

${\mathrm{Cl}}_2(\theta +2m\pi )={\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

${\mathrm{Cl}}_2(-\theta )=-{\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

Definició general

En un caràcter més ampli, es definixen les dos funcions generalisades de Clausen:

${\mathrm{S}}_z(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\theta }{k^z}$

${\mathrm{C}}_z(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos k\theta }{k^z}$

que són vàlides en el camp complex z en Re z >1. La definició es pot estendre a tot el pla complex a través del seu extensió analítica.

Quan z és reemplaçat per un número entero no-negatiu, les funcions estàndar de Clausen es definixen per mig de la série de Fourier següent:

${\mathrm{Cl}}_{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}$

${\mathrm{Cl}}_{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}$

${\mathrm{Sl}}_{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}$

${\mathrm{Sl}}_{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}$

cal notar que les funcions de Clausen de tipo SL tenen la notació alternativa ${\mathrm{Gl}}_m(\theta )$ i es denominen en ocasions com les funcions de Glaisher-Clausen (de James Whitbread Lee Glaisher, d'ahí la notació GL).