Funció de Thomae

Punts de la gràfica de la funció en el (0,1)

Funció de Thomae, cridada aixina en honor a Carl Johannes Thomae, també coneguda com la funció de les cloches, la funció gotes de pluja, la funció dels núvols numerables, la funció modificada de Dirichlet, la funció de la regla, o les estreles sobre Babilonia (per John Horton Conway) és una modificació de la funció de Dirichlet. El valor real de la funció f(x) es definix com seguix:

a on:

• ℚ és el conjunt dels número racional
• ℕ és el conjunt dels número natural
• ℤ és el conjunt dels número entero
• mcd és el màxim comú divisor

Si x = 0, es pren q = 1. Assumint que el mcd(p, q) = 1 i q > 0 dona una representació única del número racional (eixemple, excloent la representació de 2/4 com 1/2) fent de f una funció ben definida.

Discontinuidades

La funció de les cloches de dacsa és tal volta l'eixemple més simple d'una funció en un complex conjunt de discontinuïtats: f és contínua en tots els número irracional i discontínua en tots els número racional.

Demostració informal

Clarament, f és discontínua en tots els racionals: lloc que els irracionals són densos en els reals, per a algun racional x, sense importar qué ε s'elegixca, ací hi ha un irracional a encara més pròxim al nostre x a on f(a) = 0 (quan f(x) és positiu). En atres paraules, f no pot tindre aproximar-se a qualsevol número positiu, ya que el seu domini està ple de zeros.

Per a mostrar la continuïtat en els irracionals, sense pèrdua de generalitat suponem que εés racional (per a algun ε irracional podem optar per una ε racional més chicoteta i la prova és transitiva). ya que ε és racional, pot ser expressada en térmens més senzills com a/b. Volem mostrar que f(x) és contínua quan x és irracional.

Note que f pren el seu valor màxim d'1 en cada número entero, per lo que podem restringir el nostre estudi entre $\lfloor x\rfloor$ i $\lceil x\rceil$. Com ε té un denominador finito b, els únics valors per als que f pot tornar un valor major a ε sò els que tenen un denominador menor o igual a b. No només existix un número finito de valors entre dos sancers en denominador menor o igual que b, per lo que estos es poden enumerar de manera exhaustiva. Elegint δ com la distància més chicoteta propenca de x a un d'estos valors garantisa que tots els valors dins de δ de x originen f(x) < ε.

Integrabilidad

La funció és Riemann integrable baix el següent criteri:

Siga f una funció definida i acotada en [a,b] i siga D el conjunt de les discontinuïtats de f en [a,b]. Llavors f $\in R$ (en $R$ el conjunt de les funcions Riemann integrables) en [a,b] si, i solament si, D té mida zero.

Ademés, el conjunt de discontinuïtats són els número racional, i els racionals són numerables, el conjunt té mida zero, per lo que la funció en el [0, 1], verifica el criteri de Lebesgue, i per tant és Riemann integrable en el [0, 1].

Referències

• Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introducció a l'Anàlisis Real, 3.ª Edició (Eixemple 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
• Spivak, M. Càlcul en varietats. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
• Abbot, Stephen. Entenent Anàlisis. Berlín: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5