Funció gaussiana

Funció gaussiana

Curves gaussianas en distints paràmetros per a la mija i la varianza. Els valors corresponents són $a=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$, b = μ, i c = σ.

Vore també: distribució normal

En estadística, la funció gaussiana (també, campana de Gauss o curva de Gauss), cridada aixina en honor a Carl Friedrich Gauss, és una funció definida per l'expressió:

a on a, b i c són constants reals (c > –1). El paràmetro a és el valor del punt més alt de la campana, b és la posició del centre de la campana i c (la desviació estàndar, a voltes cridada mija quadràtica o valor quadràtic mig) controla l'ample de la campana.

Les funcions gaussianas s'utilisen freqüentment en estadística. En el cas de que a siga igual a $\frac{1}{\sqrt{2\pi c^2}}$, la funció de densitat d'una variable aleatòria correspon en la distribució normal de mija μ = b i varianza σ²= c².

Propietats

Les gaussianas es troben entre les funcions elementals, encara que no posseïxen primitives elementals. No obstant, el valor exacte de l'integral impròpia sobretot el ranc real pot derivar-se a partir del valor de l'integral de Gauss obtenint-se que:

El valor de l'integral és 1 si i solament si $a=\frac{1}{c\sqrt{2\pi }}$, en el cas de la qual la funció gaussiana és la funció de densitat d'una variable aleatòria en distribució normal de mija μ=b i varianza σ² = c². Es mostren vàries gràfiques de funcions gaussianas en l'image adjunta.

Les funcions gaussianas en c² = 2 són les autofunciones de la transformada de Fourier. Açò significa que la transformada de Fourier d'una funció gaussiana no és solament una atra gaussiana, sino ademés un múltiple escalar de la funció original. La gràfica de la funció és simètrica en forma de campana, coneguda com a campana de Gauss. El paràmetro a és l'altura de la campana centrada en el punt b, determinant c l'ample de la mateixa.

Integral d'una funció gaussiana

L'integral d'una funció gaussiana qualsevol és

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-{(x-b)}^2/2c^2}dx=\sqrt{2}a\left|c\right|\sqrt{\pi }$

la forma alternativa del qual és

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k{e}^{-f{x}^2+gx+h}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k{e}^{-f{(x-g/(2f))}^2+g^2/(4f)+h}dx=k\sqrt{\frac{\pi }{f}}\exp (\frac{g^2}{4f}+h)$

a on f deu ser positiva per a que l'integral puga convergir.

Relació en l'integral gaussiana estàndar

L'integral

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-(x-b{)}^2/2c^2}dx$

per a alguns valors reals a, b, c > 0 pot ser calculada representant-la en forma d'integral de Gauss. Per a això, la constant a pot ser operada fòra de l'integral, despuix, la variable sobre la que s'integra(diferencial) es canvia de x a i = x-b .

$a\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2/2c^2}dy$

i despuix a $z=y/\sqrt{2c^2}$

$a\sqrt{2c^2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz$

Llavors, usant l'Integral de Gauss

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz=\sqrt{\pi }$

tenim

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a{e}^{-(x-b{)}^2/2c^2}dx=a\sqrt{2\pi c^2}$

Vore també

• Integral de Gauss
• Distribució normal
• Transformada de Fourier
• Delta de Dirac