Funtor complet i fidel

En teoria de categories, un funtor fidel és un funtor inyectivo sobre conjunts de morfismos (hom-sets, en anglés), i un funtor complet és sobreyectivo sobre conjunts de morfismos. Un funtor que posseïx abdós propietats es denomina funtor completament fidel .

Definicions formals

Explícitament, siguen $𝒞$ i $𝒟$ categories (localment menudes) i siga $F:𝒞\to 𝒟$ siga un funtor de $𝒞$ a $𝒟$. El funtor $F$ induïx una funció

$F_{X,Y}:{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(X,Y)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒟}(F(X),F(Y))$

per a cada parell d'objectes $X$ i $Y$ en $𝒞$. Es diu que el funtor $F$ és

• fidel si _{$F_{X,Y}$} és inyectiva
• complet si _{$F_{X,Y}$} és sobreyectivo
• completament fidel (o, lo que és lo mateix, complet i fidel) si _{$F_{X,Y}$} és biyectiva

per a cada $X$ i $Y$ en $𝒞$.

Propietats

Un funtor fidel no és necessàriament inyectivo en objectes o morfismos. És dir, dos objectes $X$ i $X^{\prime }$ poden enviar al mateix objecte en $𝒟$ (d'a on el ranc d'un funtor complet i fidel no és necessàriament isomorfo a $𝒞$), i dos morfismos $f:X\to Y$ i $f^{\prime }:X^{\prime }\to Y^{\prime }$ (en distints domini i codominio) poden enviar al mateix morfismo en $𝒟$. De la mateixa manera, un funtor complet no té per qué ser sobreyectivo en objectes o morfismos. Pot haver objectes en $𝒟$ que no corresponguen a algun $FX$ per a algun objecte $X$ en $𝒞$. Els morfismos entre tals objectes clarament no poden provindre de morfismos en $𝒞$.

Un funtor complet i fidel és necessàriament inyectivo en objectes llevat isomorfismes. És dir, si $F:𝒞\to 𝒟$ és un funtor complet i fidel, i $F(X)\cong F(Y)$, llavors $X\cong Y$ .

Bibliografia 

• Mac Lane, Saunders (Setembre 1989). Categories for the Working Mathematician (segona edició). Springer.