Hipervolumen

En matemàtiques, el hipervolumen de n-dimensions és una medida que generalisa el concepte de volum a espais de dimensió superior a tres. El hipervolumen es definix a partir de la medició de distàncias definides pel tensor mètric o en el seu defecte per una funció distancia adequada.

En espai euclídeo

Un espai euclídeo en ser un espai mètric admet una mida del volum per mig de suma de volums d'hiperesferas. Considerem un conjunt acotat $X\subseteq {ℝ}^n$ de l'espai euclídeo, i considerem una colecció numerable de boles obertes centrades que recobrix completament a $X$, és dir l'unió de la qual conté al conjunt $X$. Si $d_i$ són els diàmetros de la colecció de boles numerable llavors el volum del conjunt complix:

A on la funció $\gamma (n)$ ve dau en térmens de la funció gamma:

Considerant tots els possibles recobriment numerables i prenent l'ínfim respecte a ells llavors es pot calcular el hipervolumen:

Igualment poden considerar-se coleccions numerables o finitas contingudes en el conjunt $X$ i prendre el suprem respecte a les coleccions de boles contingudes en el conjunt.

En varietats de Riemann

Artícul principal → Varietat de Riemann.

Per a que en un espai de n-dimensions, no necessàriament euclidiano, es puga definir el concepte de hipervolumen deuen donar-se certes condicions. Per a poder definir un càlcul de hipervolúmenes per mig del càlcul integral és necessari que en l'espai a on pretenem medir volums s'haja definit un tensor mètric:

Això permet fa que l'espai tinga estructura de varietat de Riemann i en ell puga definir-se la cridada forma de volum que és la n-forma següent:

En eixes condicions el hipervolumen d'una regió Ω (en frontera suficientment regular) ve definida per l'integral:

Vore també

• Llongitut d'arc, àrea i volum
• Dimensió de Hausdorff-Besicovich
• Teoria de la mida