Història de les equacions diferencials

Una equació és una igualtat condicional que es complix solament per a les solucions de la mateixa. Aixina, en una equació algebraica com $x-2=0$, l'igualtat solament es complix per a $x=2$.

En forma similar, una equació diferencial, constituïda per funcions i les seues derivades, és una igualtat que es complix solament per a les funcions que són solucions de la mateixa. Aixina, si tenim $f(x)=f^{\prime }(x)$, les solucions seran les funcions $c{e}^x$, a on $c$ és qualsevol número complejo, ya que són les úniques funcions que la seua derivada és igual a la funció mateixa.

En el seu orige, són equacions íntimament lligades a la resolució de qüestions relacionades en la física i en la geometria: les lleis del moviment planetari (en el que intervenen distàncies, velocitats i acceleració; o lo que és lo mateix, lleis de posició i les seues derivades primeres i segones en funció del temps); problemes relacionats en l'equilibri d'un cable en suspensió (catenària); la trayectòria de caiguda en el menor temps possible entre dos punts donats (braquistocrona); o les lleis de difusió de la calor.

La fascinació de matemàtics i físics per este tipo d'equacions va ser deguda tant a la seua utilitat pràctica, com a la dificultat de trobar solucions analítiques en l'immensa majoria dels casos: cada nou problema resoluble analíticamente descobert, adquiria carta de naturalea pròpia i notorietat immediata.

En posterioritat a la fulgurant aparició cap a 1675 de les equacions diferencials de la mà primer de Leibniz i de Newton, i a continuació dels seus successors, la busca de métodos generals de resolució d'equacions diferencials ordinàries es va detindre al voltant de 1775. Varis nous treballs estaven encara pendents de realisar-se utilisant equacions diferencials ordinàries, principalment aquells resultants de la solució d'equacions diferencials en derivades parcials. Pero per més de cent anys no varen tornar a aparéixer nous métodos tan importants com els disponibles per llavors, fins a l'introducció dels métodos operacionals i de la transformada de Laplace al final de el XIX. En realitat, l'interés en métodos generals de solució es va reduir degut a que, d'una forma o una atra, els métodos de resolució disponibles resultaven suficients per a les aplicacions plantejades per llavors. No obstant encara se sentia la falta de rigor, i l'aparició de noves aplicacions va comportar a que esta massa de tècniques disperses es consolidara en una teoria sòlida.

Inicis

Les equacions diferencials no comencen en el naiximent del càlcul d'Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), els qui varen iniciar l'estudi del problema invers de la diferenciació: donada una relació entre dos cantitats i els seus diferencials (o fluxiones), cóm trobar una relació entre les cantitats (o fluentes). No obstant, este problema analític de l'integració d'equacions diferencials d'orde correspon a un problema geomètric formulat en anterioritat: el método invers de tangentes; açò és, cóm trobar una curva caracterisada per una propietat donada de les seues tangentes.

Utilisant expansions d'expressions en séries de potències, Newton va mostrar que el problema invers de les tangentes era totalment soluble. Leibniz, no obstant, expressant el seu desig de conseguir solucions donant la naturalea de les curves, no estava satisfet en el sistemàtic us de séries i pensava que, parlant de forma general, no hi havia suficient coneiximent encara sobre el método invers de les tangentes. El seu procediment va ser essencialment canviar variables per a intentar transformar l'equació diferencial donada en una equació en variables separables: $f(x)dx=g(y)dy$ puix la seua solució s'obtenia immediatament per quadratura.

Inclús, abans de començar el XVIII, els treballs de, especialment, Gottfried Wilhlm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) i Johann Bernoulli (1667-1748) varen dur cap a l'integració (reducció a quadratura) d'equacions diferencials homogénees i d'equacions diferencials llineals de primer orde.

No obstant, inclús havent conseguit tal separació de variables, encara que no sempre és el cas, continua el problema de reduir les quadratura a atres més simples. Ademés, Johann Bernoulli destaca en el seu Lectiones mathematicae en 1691, que la separació de variables pot ocultar la naturalea del problema. Per eixemple, $ydx=2xdy$ escrita com a variables separables involucra, en apariència curves logarítmiques quan, en realitat, la solució és algebraica: $y^2=Kx$.

Varis problemes geomètrics i mecànics, varen provocar que els matemàtics començaren a pensar sobre les equacions diferencials d'orde major que un. Est és el cas de Jacopo Riccati (1676-1754) qui va presentar en 1723 l'equació que du el seu nom: $x^m{d}^{2}x=d^{2}y+d{y}^2$ resolta per Daniel Bernoulli (1700-1782) i Leonhard Euler. Les bases de la teoria general de l'equació diferencial llineal d'orde "n" en coeficients variables varen ser desenrollades en 1765 per Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i Jean li Rond D'Alembert (1717-1783). Usant dos métodos diferents, varen mostrar que n integrals particulars de l'equació homogénea determinen l'integral completa de l'equació no homogénea a través de n quadratura. En 1776, Lagrange nota que este resultat pot també ser demostrat usant el método de variació de la constant, que es va convertir en el método general més utilisat.

En 1715, Brook Taylor (1685-1731) ya s'havia trobat en una solució en el cas de les equacions de segon grau, i notat el seu caràcter singular. En 1758, Euler va emfatisar la paradoxa dual de tals solucions singulars en el càlcul integral. Estes solucions són obtingudes no per integració, sino per diferenciació d'equacions diferencials. A mida que es comencen a estudiar sistemes físics més complexos, per eixemple en l'astronomia, es requerix resoldre sistemes d'equacions diferencials ordinàries.

El problema del moviment de dos cossos baix atracció de la força de gravetat va ser resolt geomètricament per Newton en 1687, pero no és fins a 1734 que Daniel Bernoulli resol el problema dels dos cossos de forma analítica.

El cridat problema dels n cossos és una generalisació d'este que no pot ser resolta de la mateixa manera i és àmpliament estudiat fins a la data. Apareixen, per a casos molt particulars, resultats de Newton, Euler i en especial de Lagrange (1772). Este mateix problema, va conduir al desenroll de la teoria del càlcul de destorbament per a trobar solucions aproximades, a on destaquen Clairaut en 1747, Euler en 1748, Lagrange en 1774-1775 i Pierre-Simon Laplace (1749-1827) de 1772 a 1780 aproximadament.

L'estudi i resolució de sistemes d'equacions diferencials va tindre un gran impuls en les idees de Lagrange a qui se li deu l'aplicació del método de variació de paràmetro a un sistema de tres equacions de segon orde en 1808.

XIX

Ni tan sols en els primers anys de el XIX, els matemàtics es preocupaven per l'existència de solucions associades a equacions diferencials. Va ser Augustin Louis Cauchy (1789-1857), qui primer es va vore motivat per este tema. En els seus cursos impartits en l'Escola Politècnica, va demostrar per primera volta la solubilidad del problema $y^{\prime }=f(x,y)$ en la condició inicial $y_0=F(x_0)$; actualment conegudes també com a condicions de Cauchy. Cauchy va presentar diferents procediments per a la demostració de l'existència en el pla real i complex, pero no és fins a 1868 que Rudolf Lipschitz (1832-1903) demostra l'existència i unicitat baixe condicions més generals, precisament per a $f$ contínua i que satisfà la condició de Lipschitz; este resultat es coneix baix el nom de Teorema de Cauchy-Lipschtz.

En el seu llibre Traité d´analyse de 1833, Picard dona una exposició consistent sobre els resultats d'existència desenrollats anteriorment en distinció de casos i aplicacions. Les hipòtesis utilisades asseguren no solament l'existència, sino també l'unicitat, a lo manco localment, de la solució dels problemes de Cauchy.

En l'estudi de certs sistemes físics, resulta interessant, i casi sempre necessari, conéixer propietats (de les solucions de l'equació o sistema que modela el fenomen) tals com acotamiento, estabilitat, periodicitat, etc., sense tindre que recórrer a l'àrdua i laboriosa tasca, que en molts casos és impracticable, de trobar expressions analítiques per a les solucions. D'esta manera, va sorgir el problema d'investigar les propietats de les solucions d'una equació diferencial a partir de "la seua pròpia expressió", donant lloc a la Teoria Qualitativa de les Equacions Diferencials.

En 1836, Sturm publica un artícul a on estudia des d'un nou punt de vista les equacions diferencials ordinàries llineals de segon orde. Partint de que no poden ser resoltes analíticamente en la seua majoria, intenta estudiar les seues propietats directament des de l'equació. Primerament, analisa cóm es comporten les raïls de la solució en variar les condicions inicials o els coeficients de l'equació. Jules Henri Poincaré (1854-1912), en el seu estudi sobre Mecànica Celest senyala l'importància de les propietats qualitatives de les solucions reals de les equacions diferencials que rigen el moviment i la debilitat dels métodos analítics, creant aixina la seua teoria “geomètrica” de les equacions diferencials.

Poincaré va estudiar les equacions llineals de segon orde en coeficients racionals, i va comprovar que certes funcions que es poden obtindre a partir de cocients de dos solucions independents admeten grups de transformacions anàlecs als de les funcions elíptiques. Va estudiar condicions per a que les equacions diferencials tinguen integrals algebraiques. Moltes d'estes tècniques varen ser usades en l'estudi dels problemes de la mecànica clàssica i, en particular, en el problema dels tres cossos. En el seu Els Méthodes Nouvelles de la Méchanique Celest va estudiar la complexa estructura que es deriva de la mecànica clàssica.

Per una atra part, els treballs d'Aleksandr Liapunov (1857-1918) varen assentar bases sòlides per a la naixent Teoria Qualitativa. Va desenrollar les seues investigacions al voltant del problema general de l'estabilitat dels moviments. Aixina en les seues publicacions Probléme géneral de la stabilité du mouvementem de 1907 (originalment publicat en rus en 1892) i Sur els figures d'equilibre peu différentes dones ellipsoids d'unemasse liquide homogéne dovée d' un mouvement de rotation en 1906, desenrolla la majoria de les tècniques que encara s'utilisen en l'actualitat. Es deuen a ell el primer i segon método que duen el seu nom. Durant el seu estudi treballa, entre uns atres, l'estabilitat, estabilitat asintòtica, estabilitat d'equacions diferencials funcionals i anàlisis no llineal. Les contribucions de Liapunov a l'estabilitat han influït en el desenroll del tema per un llarc periodo de temps.

Liapunov i Poincaré, varen convertir la no linealidad de les equacions llineals en el seu objecte d'estudi i varen aportar métodos i conceptes fonamentals en l'estudi de les equacions diferencials llineals i no llineals.

Vore també

• Equacions diferencials
• Història de la matemàtica