Identitat de Lagrange

En matemàtica, la identitat de Lagrange és una identitat relacionada en la factorización de productes i sumes de quadrats. En la seua forma més simple establix:

La forma anterior pot generalisar-se a un número arbitrari de variables.

En anells conmutativos

La forma més directa de demostrar l'identitat de Lagrange és fer us de desenrolls algebraics demostrant la validea de l'identitat no solament per a número real o complexos sino per a elements de qualsevol anell conmutativo.

Interpretació vectorial

Si considerem els números $a_1,a_2,\dots ,a_n$ i $b_1,b_2,\dots ,b_n$ com a components de vectores en ${ℝ}^n$:

$𝐚=(a_1,a_2,\dots ,a_n),𝐛=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$,

llavors l'identitat de Lagrange pot reescriure's en térmens de les normes dels vectores i el producte escalar,

puix

$\Vert 𝐚{\Vert }^2=\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right),\Vert 𝐛{\Vert }^2=\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)$

i

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$

de manera que l'identitat de Lagrange es convertix en:

No obstant, quan $n=3$, l'última suma correspon al quadrat de la norma del producte vectorial dels vectores i en dit cas l'identitat de Lagrange s'expressa com:

Bibliografia

• Savchev, Svetoslav; Andreescu, {{{nom2}}} (2003). Mathematical miniatures (en anglés), The Mathematical Association of America. ISBN 088385645X.
• «Lagrange's Identity» (en anglés). Mathworld. Consultat el 8 de maig de 2012.